5.8

Нахождение определенных интегралов с помощью рядов

[17/100%]
Показать
LaTeX
Задача 3034

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01ln⁡11−x dx. \int _{0}^{1}\ln \frac{1}{1-x}\, dx.
?
Задача 3035

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01ln⁡(x+1+x2)x dx. \int _{0}^{1}\frac{\ln \left(x+\sqrt{1+x^{2}}\right)}{x}\, dx.
?
Задача 3036

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01ln⁡(1+x)x dx. \int _{0}^{1}\frac{\ln (1+x)}{x}\, dx.
?
Задача 3037

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01xp−1ln⁡(1−xq) dx(p>0, q>0). \int _{0}^{1}x^{p-1}\ln (1-x^{q})\, dx \quad (p>0,\ q>0).
?
Задача 3038

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫01ln⁡x⋅ln⁡(1−x) dx. \int _{0}^{1}\ln x\cdot \ln (1-x)\, dx.
?
Задача 3039

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫0+∞x dxe2πx−1. \int _{0}^{+\infty }\frac{x\, dx}{e^{2\pi x}-1}.
?
Задача 3040

С помощью разложения подынтегральной функции в ряд вычислить следующий интеграл:

∫0+∞x dxex+1. \int _{0}^{+\infty }\frac{x\, dx}{e^{x}+1}.
?
Задача 3041

Разложить по целым положительным степеням модуля kk (0⩽k<10 \leqslant k<1) полный эллиптический интеграл 1-го рода

F(k)=∫0π/2dφ1−k2sin⁡2φ. F(k)=\int _{0}^{\pi /2}\frac{d\varphi }{\sqrt{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }}.
?
Задача 3042

Разложить по целым положительным степеням модуля kk (0⩽k<10 \leqslant k<1) полный эллиптический интеграл 2-го рода

E(k)=∫0π/21−k2sin⁡2φ dφ. E(k)=\int _{0}^{\pi /2}\sqrt{1-k^{2}\sin ^{2}\varphi }\, d\varphi .
?
Задача 3043

Выразить длину дуги эллипса

x=acos⁡t,y=bsin⁡t(0⩽t⩽2π) x=a\cos t, \quad y=b\sin t \quad (0 \leqslant t \leqslant 2\pi )

с помощью ряда, расположенного по целым положительным степеням эксцентриситета.

?
Задача 3044

Доказать равенство

∫01dxxx=∑n=1∞1nn. \int _{0}^{1}\frac{dx}{x^{x}}=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n^{n}}.
?
Задача 3045

Доказать равенство

∫0+∞e−x2sin⁡ax dx=12∑n=0∞(−1)nn!(2n+1)!a2n+1. \int _{0}^{+\infty }e^{-x^{2}}\sin ax\, dx=\frac{1}{2}\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}n!}{(2n+1)!}a^{2n+1}.
?
Задача 3046

Доказать равенство

∫02πecos⁡xcos⁡(sin⁡x)cos⁡nx dx=πn!(n=0,1,2,…). \int _{0}^{2\pi }e^{\cos x}\cos (\sin x)\cos nx\, dx=\frac{\pi }{n!} \quad (n=0,1,2,\ldots ).
?
Задача 3047

Найти:

∫02πeacos⁡xcos⁡(asin⁡x−nx) dx(n — натуральное число). \int _{0}^{2\pi }e^{a\cos x}\cos (a\sin x-nx)\, dx \quad (n \text{ — натуральное число}).
?
Задача 3048

Найти:

∫0πxsin⁡α1−2αcos⁡x+α2 dx. \int _{0}^{\pi }\frac{x\sin \alpha }{1-2\alpha \cos x+\alpha ^{2}}\, dx.
?
Задача 3049

Найти:

∫0πln⁡(1−2αcos⁡x+α2) dx. \int _{0}^{\pi }\ln (1-2\alpha \cos x+\alpha ^{2})\, dx.
?
Задача 3050

Доказать формулу

∫0∞e−xa+x dx=1a−1!a2+2!a3−…+(−1)n−1(n−1)!an+(−1)nθnn!an+1,(1) \int _{0}^{\infty }\frac{e^{-x}}{a+x}\, dx=\frac{1}{a}-\frac{1!}{a^{2}}+\frac{2!}{a^{3}}-\ldots +(-1)^{n-1}\frac{(n-1)!}{a^{n}}+(-1)^{n}\frac{\theta _{n}n!}{a^{n+1}}, \tag {1}

где a>0a>0 и 0<θn<10<\theta_{n}<1.

С какой точностью выразится интеграл

∫0∞e−x100+x dx, \int _{0}^{\infty }\frac{e^{-x}}{100+x}\, dx,

если в формуле (1) взять два члена?

?