5.3

Действия над рядами

[16/100%]
Показать
LaTeX
Задача 2701

Если ряд ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} сходится и

lim⁡n→∞bnan=1, \lim _{n \to \infty }\frac{b_{n}}{a_{n}}=1,

то можно ли утверждать, что ряд ∑n=1∞bn\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }b_{n} также сходится?

Рассмотреть примеры

∑n=1∞(−1)nnи∑n=1∞[(−1)nn+1n]. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}} \quad \text{и} \quad \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}\right].
?
Задача 2702

Пусть ∑n=1∞an\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }a_{n} — не абсолютно сходящийся ряд и

Pn=∑i=1n∣ai∣+ai2,Nn=∑i=1n∣ai∣−ai2. P_{n}=\sum _{i=1}^{n}\frac{\left|a_{i}\right|+a_{i}}{2}, \quad N_{n}=\sum _{i=1}^{n}\frac{\left|a_{i}\right|-a_{i}}{2}.

Доказать, что

lim⁡n→∞NnPn=1. \lim _{n \to \infty }\frac{N_{n}}{P_{n}}=1.
?
Задача 2703

Доказать, что сумма ряда ∑n=1∞(−1)n+1np\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\dfrac {(-1)^{n+1}}{n^{p}} для каждого p>0p>0 лежит между 12\dfrac {1}{2} и 11.

?
Задача 2703.1

Сколько членов ряда следует взять, чтобы получить его сумму с точностью до ε=10−6\varepsilon =10^{-6}, если:

?
(а)

∑n=1∞(−1)n+1n2+1\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n^{2}+1}};

(б)

∑n=1∞sin⁡n9n\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty }\frac{\sin n^{9}}{\sqrt{n}}.

Задача 2704

Доказать, что если члены ряда

1−12+13−14+15−… 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\ldots

переставить так, чтобы группу pp последовательных положительных членов сменяла группа qq последовательных отрицательных членов, то сумма нового ряда будет

ln⁡2+12ln⁡pq. \ln 2+\frac{1}{2}\ln \frac{p}{q}.
?
Задача 2705

Доказать, что гармонический ряд

1+12+13+14+… 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\ldots

останется расходящимся, если, не переставляя его членов, изменить знаки их так, чтобы за pp положительными членами следовало бы qq отрицательных (p≠qp \neq q). Сходимость будет иметь место лишь при p=qp=q.

?
Задача 2706

Что можно сказать о сумме двух рядов, из которых:

?
(а)

один ряд сходится, а другой расходится;

(б)

оба ряда расходятся?

Задача 2707

Найти сумму двух рядов:

∑n=1∞[13n+(−1)nn3]+∑n=1∞[13n+1+(−1)n+1n3]. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{3^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{3}}\right]+\sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{3^{n+1}}+\frac{(-1)^{n+1}}{n^{3}}\right].
?
Задача 2708

Найти сумму следующего ряда:

∑n=1∞[12n+(−1)n3n]. \sum _{n=1}^{\infty }\left[\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{3^{n}}\right].
?
Задача 2709

Найти сумму следующего ряда:

∑n=1∞cos⁡2nπ32n. \sum _{n=1}^{\infty }\frac{\cos \dfrac {2n\pi }{3}}{2^{n}}.
?
Задача 2710

Найти сумму следующего ряда:

∑n=0∞x[n/2]y[(n+1)/2](∣xy∣<1). \sum _{n=0}^{\infty }x^{[n/2]}y^{[(n+1)/2]} \quad (\left|xy\right|<1).
?
Задача 2711

Показать, что ∑n=0∞1n!⋅∑n=0∞(−1)nn!=1\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty }\frac{1}{n!}\cdot \sum_{n=0}^{\infty }\frac{(-1)^{n}}{n!}=1.

?
Задача 2712

Показать, что (∑n=0∞qn)2=∑n=0∞(n+1)qn\displaystyle \left(\sum_{n=0}^{\infty }q^{n}\right)^{2}=\sum_{n=0}^{\infty }(n+1)q^{n} (∣q∣<1\left|q\right|<1).

?
Задача 2713

Показать, что квадрат сходящегося ряда

∑n=1∞(−1)n+1n \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n+1}}{\sqrt{n}}

есть ряд расходящийся.

?
Задача 2714

Доказать, что произведение двух сходящихся рядов

∑n=1∞(−1)n−1nα(α>0)и∑n=1∞(−1)n−1nβ(β>0) \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\alpha }} \quad (\alpha >0) \quad \text{и} \quad \sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1)^{n-1}}{n^{\beta }} \quad (\beta >0)

есть ряд сходящийся, если α+β>1\alpha +\beta >1, и расходящийся, если α+β<1\alpha +\beta <1.

?
Задача 2715

Проверить, что произведение двух расходящихся рядов

1−∑n=1∞(32)nи1+∑n=1∞(32)n−1(2n+12n+1) 1-\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{3}{2}\right)^{n} \quad \text{и} \quad 1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{3}{2}\right)^{n-1}\left(2^{n}+\frac{1}{2^{n+1}}\right)

есть абсолютно сходящийся ряд.

?