Определенный интеграл

Найти интегральную сумму $S_{n}$ для функции $f(x)=1+x$ на сегменте $[-1,4]$, разбивая его на $n$ равных промежутков и выбирая значения аргумента $\xi_{i}$ ($i=0,1,\ldots ,n-1$) в серединах этих промежутков.

Для данных функций $f(x)$ найти нижнюю $\underline{S}_{n}$ и верхнюю $\overline{S}_{n}$ интегральные суммы на соответствующих сегментах, деля их на $n$ равных частей, если

Найти нижнюю интегральную сумму для функции $f(x)=x^{4}$ на сегменте $[1,2]$, разбивая этот сегмент на $n$ частей, длины которых образуют геометрическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы при $n \to \infty$?

Исходя из определения интеграла, найти

где $v_{0}$ и $g$ — постоянны.

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{-1}^{2}x^{2}\, dx$.

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}a^{x}\, dx$ ($a>0$).

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\sin x\, dx$.

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{0}^{x}\cos t\, dt$.

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}\dfrac {dx}{x^{2}}$ ($0<a<b$).

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}x^{m}\, dx$ ($0<a<b$; $m \neq -1$).

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}\dfrac {dx}{x}$ ($0<a<b$).

Вычислить интеграл Пуассона

при:

Пусть функции $f(x)$ и $\varphi (x)$ непрерывны на $[a,b]$. Доказать, что

где $x_{i} \leqslant \xi_{i} \leqslant x_{i+1}$, $x_{i} \leqslant \theta_{i} \leqslant x_{i+1}$ ($i=0,1,\ldots ,n-1$) и $\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ ($x_{0}=a$, $x_{n}=b$).

Пусть функция $f(x)$ ограничена и монотонна на $[0,1]$. Доказать, что

Пусть функция $f(x)$ ограничена и монотонна на $[0,1]$. Доказать, что

Пусть функция $f(x)$ ограничена и выпукла сверху (см. 1312) на сегменте $[a,b]$. Доказать, что

Пусть функция $f(x)$ ограничена и выпукла сверху (см. 1312) на сегменте $[a,b]$. Доказать, что

Пусть $f(x) \in C^{(2)}[1,+\infty )$ и $f(x)>0$, $f'(x)>0$, $f''(x) \leqslant 0$ при $x \in [1,+\infty )$. Доказать, что

при $n \to \infty$.

Пусть $f(x) \in C^{(2)}[1,+\infty )$ и $f(x)>0$, $f'(x)>0$, $f''(x) \leqslant 0$ при $x \in [1,+\infty )$. Доказать, что

при $n \to \infty$.

Пусть $f(x) \in C^{(1)}[a,b]$ и

Найти $\lim \limits_{n \to \infty }n\Delta_{n}$.

Пусть $f(x) \in C^{(1)}[a,b]$ и

Найти $\lim \limits_{n \to \infty }n\Delta_{n}$.

Показать, что разрывная функция $f(x)=\operatorname {sgn}\left(\sin \dfrac {\pi }{x}\right)$ интегрируема на промежутке $[0,1]$.

Показать, что функция Римана

где $m$ и $n$ ($n \geqslant 1$) — взаимно простые целые числа, интегрируема на любом конечном промежутке.

Показать, что функция

и $f(0)=0$, интегрируема на сегменте $[0,1]$.

Доказать, что функция Дирихле

не интегрируема на любом промежутке.

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ и

где $x_{i}=a+\dfrac {i}{n}(b-a)$ ($i=0,1,\ldots ,n$; $n=1,2,\ldots$). Доказать, что

Доказать, что если функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$, то существует последовательность непрерывных функций $\varphi_{n}(x)$ ($n=1,2,\ldots$) такая, что

Доказать, что если ограниченная функция $f(x)$ интегрируема на сегменте $[a,b]$, то абсолютная величина ее $\left|f(x)\right|$ также интегрируема на $[a,b]$, причем

Пусть функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на сегменте $[a,b]$, т.е. интеграл $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ существует. Является ли эта функция интегрируемой на $[a,b]$? Рассмотреть пример:

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ и $A \leqslant f(x) \leqslant B$ при $a \leqslant x \leqslant b$, а функция $\varphi (x)$ определена и непрерывна на сегменте $[A,B]$. Доказать, что функция $\varphi (f(x))$ интегрируема на $[a,b]$.

Если функции $f(x)$ и $\varphi (x)$ интегрируемы, то обязательно ли функция $f(\varphi (x))$ также интегрируема? Рассмотреть пример:

и $\varphi (x)$ — функция Римана (см. задачу 2195).

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на сегменте $[A,B]$. Доказать, что $f(x)$ обладает свойством интегральной непрерывности, т.е.

где $[a,b] \subset [A,B]$.

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на сегменте $[a,b]$. Доказать, что равенство $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}f^{2}(x)\, dx=0$ имеет место тогда и только тогда, когда $f(x)=0$ во всех точках непрерывности функции $f(x)$, принадлежащих сегменту $[a,b]$.

Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти определенный интеграл и нарисовать соответствующую криволинейную площадь: $\displaystyle \int \limits_{-1}^{8}\sqrt[3]{x}\, dx$.

Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти определенный интеграл и нарисовать соответствующую криволинейную площадь: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\sin x\, dx$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\dfrac {dx}{1+x^{2}}$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1/2}^{1/2}\dfrac {dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{\operatorname {sh}1}^{\operatorname {sh}2}\dfrac {dx}{\sqrt{1+x^{2}}}$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2}\left|1-x\right|\, dx$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {dx}{x^{2}-2x\cos \alpha +1}$ ($0<\alpha <\pi$).

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }\dfrac {dx}{1+\varepsilon \cos x}$ ($0 \leqslant \varepsilon <1$).

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {dx}{\sqrt{(1-2ax+a^{2})(1-2bx+b^{2})}}$ ($\left|a\right|<1$, $\left|b\right|<1$, $ab>0$).

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\dfrac {dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$ ($ab \neq 0$).

Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона—Лейбница приводит к неверным результатам, если:

Найти $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {1}{1+2^{1/x}}\right)\, dx$.

Найти $\displaystyle \int \limits_{0}^{100\pi }\sqrt{1-\cos 2x}\, dx$.

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

С помощью определенного интеграла найти предел

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

Найти $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\dfrac {\sqrt[n]{n!}}{n}$.

Найти $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left[\dfrac {1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\dfrac {b-a}{n}\right)\right]$.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти предел суммы

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти предел

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти предел

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти предел суммы

Найти:

Найти:

Найти:

Пусть $f(x) \in C[0,+\infty )$ и $f(x) \to A$ при $x \to +\infty$. Найти $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\int \limits_{0}^{1}f(nx)\, dx$.

Пусть $f(x) \in C[0,+\infty )$ и $f(x) \to A$ при $x \to +\infty$. Найти $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\int \limits_{0}^{1}f(nx)\, dx$.

Доказать, что $\displaystyle \int \limits_{0}^{x}e^{x^{2}}\, dx \sim \dfrac {1}{2x}e^{x^{2}}$ при $x \to \infty$.

Найти $\displaystyle \lim_{x \to +0}\dfrac {\int \limits_{0}^{\sin x}\sqrt{\tg x}\, dx}{\int \limits_{0}^{\tg x}\sqrt{\sin x}\, dx}$.

Пусть $f(x)$ — непрерывная положительная функция. Доказать, что функция $\varphi (x)=\dfrac {\int \limits_{0}^{x}tf(t)\, dt}{\int \limits_{0}^{x}f(t)\, dt}$ возрастает при $x>0$.

Найти:

Вычислить и построить графики интегралов $I=I(\alpha )$, рассматривая их как функции параметра $\alpha$, если:

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\ln 2}xe^{-x}\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }x\sin x\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }x^{2}\cos x\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{1/e}^{e}\left|\ln x\right|\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\arccos x\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\sqrt{3}}x\arctg x\, dx$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {x\, dx}{\sqrt{5-4x}}$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{a}x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{0{,}75}\dfrac {dx}{(x+1)\sqrt{x^{2}+1}}$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\ln 2}\sqrt{e^{x}-1}\, dx$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\dfrac {\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {1+x^{2}}{1+x^{4}}\, dx$, полагая $x-\dfrac {1}{x}=t$.

Объяснить, почему формальная замена $x=\varphi (t)$ приводит к неверным результатам, если:

Можно ли в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{3}x\sqrt[3]{1-x^{2}}\, dx$ положить $x=\sin t$?

Можно ли в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\, dx$ при замене переменной $x=\sin t$ в качестве новых пределов взять числа $\pi$ и $\dfrac {\pi }{2}$?

Доказать, что если $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то

Доказать равенство

Пусть $f(x)$ — непрерывная функция на сегменте $[A,B] \supset [a,b]$. Найти $\dfrac {d}{dx}\displaystyle \int \limits_{a}^{b}f(x+y)\, dy$ при $[a-x,b-x] \subset [A,B]$.

Доказать, что если $f(x)$ непрерывна на $[0,1]$, то:

Доказать, что для непрерывной на $[-l,l]$ функции $f(x)$ имеем: 1) $\displaystyle \int \limits_{-l}^{l}f(x)\, dx=2\int \limits_{0}^{l}f(x)\, dx$, если функция $f(x)$ четная, и 2) $\displaystyle \int \limits_{-l}^{l}f(x)\, dx=0$, если функция $f(x)$ нечетная. Дать геометрическую интерпретацию этих фактов.

Доказать, что одна из первообразных четной функции есть функция нечетная, а всякая первообразная нечетной функции есть функция четная.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{1/2}^{2}\left(1+x-\dfrac {1}{x}\right)e^{x+(1/x)}\, dx$.

В интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }f(x)\cos x\, dx$ выполнить замену переменного $\sin x=t$.

Вычислить интеграл

где $n$ — натуральное число.

Найти $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\dfrac {x\sin x}{1+\cos^{2}x}\, dx$.

Найти интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{3}\dfrac {f’(x)}{1+f^{2}(x)}\, dx$, если $f(x)=\dfrac {(x+1)^{2}(x-1)}{x^{3}(x-2)}$.

Доказать, что если $f(x)$ — непрерывная периодическая функция, определенная при $-\infty <x<+\infty$ и имеющая период $T$, то

где $a$ — любое число.

Доказать, что при $n$ нечетном функции

периодические с периодом $2\pi$; а при $n$ четном каждая из этих функций есть сумма линейной функции и периодической функции.

Доказать, что функция $F(x)=\displaystyle \int \limits_{x_{0}}^{x}f(x)\, dx$, где $f(x)$ — непрерывная периодическая функция с периодом $T$, в общем случае, есть сумма линейной функции и периодической функции периода $T$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}x(2-x^{2})^{12}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {x\, dx}{x^{2}+x+1}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{1}^{e}(x\ln x)^{2}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{9}x\sqrt[3]{1-x}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-2}^{-1}\dfrac {dx}{x\sqrt{x^{2}-1}}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}x^{15}\sqrt{1+3x^{8}}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{3}\arcsin \sqrt{\dfrac {x}{1+x}}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }\dfrac {dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }\dfrac {dx}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\sin x\sin 2x\sin 3x\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }(x\sin x)^{2}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }e^{x}\cos^{2}x\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\ln 2}\operatorname {sh}^{4}x\, dx$.