Определенный интеграл как предел суммы

Найти интегральную сумму $S_{n}$ для функции $f(x)=1+x$ на сегменте $[-1,4]$, разбивая его на $n$ равных промежутков и выбирая значения аргумента $\xi_{i}$ ($i=0,1,\ldots ,n-1$) в серединах этих промежутков.

Для данных функций $f(x)$ найти нижнюю $\underline{S}_{n}$ и верхнюю $\overline{S}_{n}$ интегральные суммы на соответствующих сегментах, деля их на $n$ равных частей, если

Найти нижнюю интегральную сумму для функции $f(x)=x^{4}$ на сегменте $[1,2]$, разбивая этот сегмент на $n$ частей, длины которых образуют геометрическую прогрессию. Чему равен предел этой суммы при $n \to \infty$?

Исходя из определения интеграла, найти

где $v_{0}$ и $g$ — постоянны.

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{-1}^{2}x^{2}\, dx$.

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}a^{x}\, dx$ ($a>0$).

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\sin x\, dx$.

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{0}^{x}\cos t\, dt$.

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}\dfrac {dx}{x^{2}}$ ($0<a<b$).

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}x^{m}\, dx$ ($0<a<b$; $m \neq -1$).

Вычислить определенный интеграл, рассматривая его как предел соответствующей интегральной суммы и производя разбиение промежутка интеграции надлежащим образом: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}\dfrac {dx}{x}$ ($0<a<b$).

Вычислить интеграл Пуассона

при:

Пусть функции $f(x)$ и $\varphi (x)$ непрерывны на $[a,b]$. Доказать, что

где $x_{i} \leqslant \xi_{i} \leqslant x_{i+1}$, $x_{i} \leqslant \theta_{i} \leqslant x_{i+1}$ ($i=0,1,\ldots ,n-1$) и $\Delta x_{i}=x_{i+1}-x_{i}$ ($x_{0}=a$, $x_{n}=b$).

Пусть функция $f(x)$ ограничена и монотонна на $[0,1]$. Доказать, что

Пусть функция $f(x)$ ограничена и выпукла сверху (см. 1312) на сегменте $[a,b]$. Доказать, что

Пусть $f(x) \in C^{(2)}[1,+\infty )$ и $f(x)>0$, $f'(x)>0$, $f''(x) \leqslant 0$ при $x \in [1,+\infty )$. Доказать, что

при $n \to \infty$.

Пусть $f(x) \in C^{(1)}[a,b]$ и

Найти $\lim \limits_{n \to \infty }n\Delta_{n}$.

Показать, что разрывная функция $f(x)=\operatorname {sgn}\left(\sin \dfrac {\pi }{x}\right)$ интегрируема на промежутке $[0,1]$.

Показать, что функция Римана

где $m$ и $n$ ($n \geqslant 1$) — взаимно простые целые числа, интегрируема на любом конечном промежутке.

Показать, что функция

и $f(0)=0$, интегрируема на сегменте $[0,1]$.

Доказать, что функция Дирихле

не интегрируема на любом промежутке.

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ и

где $x_{i}=a+\dfrac {i}{n}(b-a)$ ($i=0,1,\ldots ,n$; $n=1,2,\ldots$). Доказать, что

Доказать, что если функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$, то существует последовательность непрерывных функций $\varphi_{n}(x)$ ($n=1,2,\ldots$) такая, что

Доказать, что если ограниченная функция $f(x)$ интегрируема на сегменте $[a,b]$, то абсолютная величина ее $\left|f(x)\right|$ также интегрируема на $[a,b]$, причем

Пусть функция $f(x)$ абсолютно интегрируема на сегменте $[a,b]$, т.е. интеграл $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}\left|f(x)\right|\, dx$ существует. Является ли эта функция интегрируемой на $[a,b]$? Рассмотреть пример:

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ и $A \leqslant f(x) \leqslant B$ при $a \leqslant x \leqslant b$, а функция $\varphi (x)$ определена и непрерывна на сегменте $[A,B]$. Доказать, что функция $\varphi (f(x))$ интегрируема на $[a,b]$.

Если функции $f(x)$ и $\varphi (x)$ интегрируемы, то обязательно ли функция $f(\varphi (x))$ также интегрируема? Рассмотреть пример:

и $\varphi (x)$ — функция Римана (см. задачу 2195).

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на сегменте $[A,B]$. Доказать, что $f(x)$ обладает свойством интегральной непрерывности, т.е.

где $[a,b] \subset [A,B]$.

Пусть функция $f(x)$ интегрируема на сегменте $[a,b]$. Доказать, что равенство $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}f^{2}(x)\, dx=0$ имеет место тогда и только тогда, когда $f(x)=0$ во всех точках непрерывности функции $f(x)$, принадлежащих сегменту $[a,b]$.