Вычисление моментов. Координаты центра тяжести

Найти статический момент и момент инерции дуги полуокружности радиуса $a$ относительно диаметра, проходящего через концы этой дуги.

Найти статический момент дуги параболы $y^{2}=2px$ ($0 \leqslant x \leqslant p/2$) относительно прямой $x=p/2$.

Найти статический момент и момент инерции однородной треугольной пластинки с основанием $b$ и высотой $h$ относительно основания ($\rho =1$).

Найти моменты инерции $I_{x}=M_{2}^{(x)}$ и $I_{y}=M_{2}^{(y)}$ относительно осей $Ox$ и $Oy$ параболического сегмента, ограниченного кривыми $ay=2ax-x^{2}$ ($a>0$) и $y=0$.

Чему равны радиусы инерции $r_{x}$ и $r_{y}$, т.е. величины, определяемые соотношениями $I_{x}=Sr_{x}^{2}$, $I_{y}=Sr_{y}^{2}$, где $S$ — площадь сегмента?

Найти моменты инерции однородной эллиптической пластинки с полуосями $a$ и $b$ относительно ее главных осей ($\rho =1$).

Найти статический момент и момент инерции однородного кругового конуса с радиусом основания $r$ и высотой $h$ относительно плоскости основания этого конуса ($\rho =1$).

Найти момент инерции однородного шара радиуса $R$ и массы $M$ относительно его диаметра.

Доказать первую теорему Гульдена: площадь поверхности, образованной вращением плоской дуги $C$ вокруг не пересекающей ее оси, лежащей в плоскости дуги, равна длине этой дуги, умноженной на длину окружности, описываемой центром тяжести дуги $C$.

Доказать вторую теорему Гульдена: объем тела, образованного вращением плоской фигуры $S$ вокруг не пересекающей ее оси, расположенной в плоскости фигуры, равен произведению площади $S$ на длину окружности, описываемой центром тяжести этой фигуры.

Определить координаты центра тяжести круговой дуги: $x=a\cos \varphi$, $y=a\sin \varphi$ ($\left|\varphi \right| \leqslant \alpha \leqslant \pi$).

Определить координаты центра тяжести области, ограниченной параболами $ax=y^{2}$, $ay=x^{2}$ ($a>0$).

Определить координаты центра тяжести области $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}} \leqslant 1$ ($0 \leqslant x \leqslant a$, $0 \leqslant y \leqslant b$).

Определить центр тяжести однородного полушара радиуса $a$.

Определить координаты центра тяжести $C(\varphi_{0},r_{0})$ дуги $OP$ логарифмической спирали $r=ae^{m\varphi }$ ($m>0$) от точки $O(-\infty ,0)$ до точки $P(\varphi ,r)$. Какую кривую описывает точка $C$ при движении точки $P$?

Определить координаты центра тяжести области, ограниченной кривой $r=a(1+\cos \varphi )$.

Определить координаты центра тяжести области, ограниченной первой аркой циклоиды $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ ($0 \leqslant t \leqslant 2\pi$) и осью $Ox$.

Определить координаты центра тяжести тела, образованного вращением площади $0 \leqslant x \leqslant a$; $y^{2} \leqslant 2px$ вокруг оси $Ox$.

Определить координаты центра тяжести полусферы $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$ ($z \geqslant 0$).