Задачи из механики и физики

Составляя соответствующую интегральную сумму и находя ее предел, решить следующую задачу: определить массу стержня длины $l=10$ м, если линейная плотность стержня меняется по закону $\delta =6+0{,}3x$ кг/м, где $x$ — расстояние от одного из концов стержня.

Составляя соответствующую интегральную сумму и находя ее предел, решить следующую задачу: какую работу надо затратить, чтобы тело массы $m$ поднять с поверхности Земли, радиус которой $R$, на высоту $h$? Чему равна эта работа, если тело удаляется в бесконечность?

Составляя соответствующую интегральную сумму и находя ее предел, решить следующую задачу: какую работу надо затратить, чтобы растянуть упругую пружину на 10 см, если сила в 1 кгс растягивает эту пружину на 1 см?

Составляя соответствующую интегральную сумму и находя ее предел, решить следующую задачу: цилиндр диаметра 20 см и длины 80 см заполнен паром под давлением 10 кгс/см$^{2}$. Какую работу надо затратить, чтобы уменьшить объем пара в два раза, считая, что температура пара остается постоянной?

Составляя соответствующую интегральную сумму и находя ее предел, решить следующую задачу: определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму полукруга радиуса $a$, диаметр которого находится на поверхности воды.

Составляя соответствующую интегральную сумму и находя ее предел, решить следующую задачу: определить силу давления воды на вертикальную стенку, имеющую форму трапеции, нижнее основание которой $a=10$ м, верхнее $b=6$ м и высота $h=5$ м, если уровень погружения нижнего основания $c=20$ м.

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: скорость точки меняется по закону $v=v_{0}+at$. Какой путь пройдет эта точка за промежуток времени $[0,T]$?

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: однородный шар радиуса $R$ и плотности $\delta$ вращается вокруг своего диаметра с угловой скоростью $\omega$. Определить кинетическую энергию шара.

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: с какой силой притягивает материальная бесконечная прямая с постоянной линейной плотностью $\mu_{0}$ материальную точку массы $m$, находящуюся на расстоянии $a$ от этой прямой?

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: определить, с какой силой притягивает круглая пластинка радиуса $a$ и постоянной поверхностной плотности $\delta_{0}$ материальную точку $P$ массы $m$, находящуюся на перпендикуляре к плоскости пластинки, проходящем через центр ее $Q$, на кратчайшем расстоянии $PQ$, равном $b$.

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: согласно закону Торичелли скорость истечения жидкости из сосуда равна $v=c\sqrt{2gh}$, где $g$ — ускорение силы тяжести, $h$ — высота уровня жидкости над отверстием и $c=0{,}6$ — опытный коэффициент.

В какое время опорожнится наполненная доверху вертикальная цилиндрическая бочка диаметра $D=1$ м и высотой $H=2$ м через круглое отверстие в дне диаметра $d=1$ см?

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: какую форму должен иметь сосуд, представляющий собой тело вращения, чтобы понижение уровня жидкости при истечении было равномерным?

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: скорость распада радия в каждый момент времени пропорциональна его наличному количеству. Найти закон распада радия, если в начальный момент $t=0$ имелось $Q_{0}$ граммов радия, а через время $T=1600$ лет его количество уменьшится в два раза.

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: для случая процесса второго порядка скорость химической реакции, переводящей вещество $A$ в вещество $B$, пропорциональна произведению концентрации этих веществ. Какой процент вещества $B$ будет содержаться в сосуде через $t=1$ ч., если при $t=0$ мин.имелось $20\%$ вещества $B$, а при $t=15$ мин.его стало $80\%$?

Составляя дифференциальное уравнение, решить следующую задачу: согласно закону Гука относительное удлинение $\varepsilon$ стержня пропорционально напряжению силы $\sigma$ в соответствующем поперечном сечении, т.е. $\varepsilon =\sigma /E$, где $E$ — модуль Юнга.

Определить удлинение тяжелого стержня конической формы, укрепленного основанием и обращенного вершиной вниз, если радиус основания равен $R$, высота конуса $H$ и удельный вес $\gamma$.