Вычисление определенных интегралов с помощью неопределенных

Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти определенный интеграл и нарисовать соответствующую криволинейную площадь: $\displaystyle \int \limits_{-1}^{8}\sqrt[3]{x}\, dx$.

Применяя формулу Ньютона—Лейбница, найти определенный интеграл и нарисовать соответствующую криволинейную площадь: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\sin x\, dx$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{1/\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}\dfrac {dx}{1+x^{2}}$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1/2}^{1/2}\dfrac {dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{\operatorname {sh}1}^{\operatorname {sh}2}\dfrac {dx}{\sqrt{1+x^{2}}}$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2}\left|1-x\right|\, dx$.

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {dx}{x^{2}-2x\cos \alpha +1}$ ($0<\alpha <\pi$).

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }\dfrac {dx}{1+\varepsilon \cos x}$ ($0 \leqslant \varepsilon <1$).

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {dx}{\sqrt{(1-2ax+a^{2})(1-2bx+b^{2})}}$ ($\left|a\right|<1$, $\left|b\right|<1$, $ab>0$).

Найти определенный интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\dfrac {dx}{a^{2}\sin^{2}x+b^{2}\cos^{2}x}$ ($ab \neq 0$).

Объяснить, почему формальное применение формулы Ньютона—Лейбница приводит к неверным результатам, если:

Найти $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {d}{dx}\left(\dfrac {1}{1+2^{1/x}}\right)\, dx$.

Найти $\displaystyle \int \limits_{0}^{100\pi }\sqrt{1-\cos 2x}\, dx$.

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

С помощью определенного интеграла найти предел

С помощью определенного интеграла найти предел суммы

Найти $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\dfrac {\sqrt[n]{n!}}{n}$.

Найти $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\left[\dfrac {1}{n}\sum_{k=1}^{n}f\left(a+k\dfrac {b-a}{n}\right)\right]$.

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти предел суммы

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти предел

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти предел

Отбрасывая равномерно бесконечно малые высших порядков, найти предел суммы

Найти:

Найти:

Найти:

Пусть $f(x) \in C[0,+\infty )$ и $f(x) \to A$ при $x \to +\infty$. Найти $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\int \limits_{0}^{1}f(nx)\, dx$.

Доказать, что $\displaystyle \int \limits_{0}^{x}e^{x^{2}}\, dx \sim \dfrac {1}{2x}e^{x^{2}}$ при $x \to \infty$.

Найти $\displaystyle \lim_{x \to +0}\dfrac {\int \limits_{0}^{\sin x}\sqrt{\tg x}\, dx}{\int \limits_{0}^{\tg x}\sqrt{\sin x}\, dx}$.

Пусть $f(x)$ — непрерывная положительная функция. Доказать, что функция $\varphi (x)=\dfrac {\int \limits_{0}^{x}tf(t)\, dt}{\int \limits_{0}^{x}f(t)\, dt}$ возрастает при $x>0$.

Найти:

Вычислить и построить графики интегралов $I=I(\alpha )$, рассматривая их как функции параметра $\alpha$, если:

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\ln 2}xe^{-x}\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }x\sin x\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }x^{2}\cos x\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{1/e}^{e}\left|\ln x\right|\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\arccos x\, dx$.

Применяя формулу интегрирования по частям, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\sqrt{3}}x\arctg x\, dx$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {x\, dx}{\sqrt{5-4x}}$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{a}x^{2}\sqrt{a^{2}-x^{2}}\, dx$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{0{,}75}\dfrac {dx}{(x+1)\sqrt{x^{2}+1}}$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\ln 2}\sqrt{e^{x}-1}\, dx$.

Применяя подходящую замену переменной, найти определенный интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\dfrac {\arcsin \sqrt{x}}{\sqrt{x(1-x)}}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {1+x^{2}}{1+x^{4}}\, dx$, полагая $x-\dfrac {1}{x}=t$.

Объяснить, почему формальная замена $x=\varphi (t)$ приводит к неверным результатам, если:

Можно ли в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{3}x\sqrt[3]{1-x^{2}}\, dx$ положить $x=\sin t$?

Можно ли в интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\, dx$ при замене переменной $x=\sin t$ в качестве новых пределов взять числа $\pi$ и $\dfrac {\pi }{2}$?

Доказать, что если $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$, то

Доказать равенство

Пусть $f(x)$ — непрерывная функция на сегменте $[A,B] \supset [a,b]$. Найти $\dfrac {d}{dx}\displaystyle \int \limits_{a}^{b}f(x+y)\, dy$ при $[a-x,b-x] \subset [A,B]$.

Доказать, что если $f(x)$ непрерывна на $[0,1]$, то:

Доказать, что для непрерывной на $[-l,l]$ функции $f(x)$ имеем: 1) $\displaystyle \int \limits_{-l}^{l}f(x)\, dx=2\int \limits_{0}^{l}f(x)\, dx$, если функция $f(x)$ четная, и 2) $\displaystyle \int \limits_{-l}^{l}f(x)\, dx=0$, если функция $f(x)$ нечетная. Дать геометрическую интерпретацию этих фактов.

Доказать, что одна из первообразных четной функции есть функция нечетная, а всякая первообразная нечетной функции есть функция четная.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{1/2}^{2}\left(1+x-\dfrac {1}{x}\right)e^{x+(1/x)}\, dx$.

В интеграле $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }f(x)\cos x\, dx$ выполнить замену переменного $\sin x=t$.

Вычислить интеграл

где $n$ — натуральное число.

Найти $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\dfrac {x\sin x}{1+\cos^{2}x}\, dx$.

Найти интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{3}\dfrac {f’(x)}{1+f^{2}(x)}\, dx$, если $f(x)=\dfrac {(x+1)^{2}(x-1)}{x^{3}(x-2)}$.

Доказать, что если $f(x)$ — непрерывная периодическая функция, определенная при $-\infty <x<+\infty$ и имеющая период $T$, то

где $a$ — любое число.

Доказать, что при $n$ нечетном функции

периодические с периодом $2\pi$; а при $n$ четном каждая из этих функций есть сумма линейной функции и периодической функции.

Доказать, что функция $F(x)=\displaystyle \int \limits_{x_{0}}^{x}f(x)\, dx$, где $f(x)$ — непрерывная периодическая функция с периодом $T$, в общем случае, есть сумма линейной функции и периодической функции периода $T$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}x(2-x^{2})^{12}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-1}^{1}\dfrac {x\, dx}{x^{2}+x+1}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{1}^{e}(x\ln x)^{2}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{9}x\sqrt[3]{1-x}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{-2}^{-1}\dfrac {dx}{x\sqrt{x^{2}-1}}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}x^{15}\sqrt{1+3x^{8}}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{3}\arcsin \sqrt{\dfrac {x}{1+x}}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }\dfrac {dx}{(2+\cos x)(3+\cos x)}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }\dfrac {dx}{\sin^{4}x+\cos^{4}x}$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\sin x\sin 2x\sin 3x\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }(x\sin x)^{2}\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }e^{x}\cos^{2}x\, dx$.

Вычислить интеграл $\displaystyle \int \limits_{0}^{\ln 2}\operatorname {sh}^{4}x\, dx$.

С помощью формул понижения вычислить интеграл, зависящий от параметра $n$, принимающего целые положительные значения: $I_{n}=\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\sin^{n}x\, dx$.

С помощью формул понижения вычислить интеграл, зависящий от параметра $n$, принимающего целые положительные значения: $I_{n}=\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\cos^{n}x\, dx$.

С помощью формул понижения вычислить интеграл, зависящий от параметра $n$, принимающего целые положительные значения: $I_{n}=\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /4}\tg^{2n}x\, dx$.

С помощью формул понижения вычислить интеграл, зависящий от параметра $n$, принимающего целые положительные значения: $I_{n}=\displaystyle \int \limits_{0}^{1}(1-x^{2})^{n}\, dx$.

С помощью формул понижения вычислить интеграл, зависящий от параметра $n$, принимающего целые положительные значения: $I_{n}=\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\dfrac {x^{n}\, dx}{\sqrt{1-x^{2}}}$.

С помощью формул понижения вычислить интеграл, зависящий от параметра $n$, принимающего целые положительные значения: $I_{n}=\displaystyle \int \limits_{0}^{1}x^{m}(\ln x)^{n}\, dx$.

С помощью формул понижения вычислить интеграл, зависящий от параметра $n$, принимающего целые положительные значения: $I_{n}=\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /4}\left(\dfrac {\sin x-\cos x}{\sin x+\cos x}\right)^{2n+1}\, dx$.

Пользуясь формулой Эйлера $e^{ix}=\cos x+i\sin x$, показать, что

($n$ и $m$ — целые).

Показать, что

($\alpha$ и $\beta$ — постоянные).

Пользуясь формулами Эйлера $\cos x=\dfrac {1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$, $\sin x=\dfrac {1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$, вычислить интеграл ($m$ и $n$ — целые положительные числа): $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\sin^{2m}x\cos^{2n}x\, dx$.

Пользуясь формулами Эйлера $\cos x=\dfrac {1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$, $\sin x=\dfrac {1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$, вычислить интеграл ($m$ и $n$ — целые положительные числа): $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\dfrac {\sin nx}{\sin x}\, dx$.

Пользуясь формулами Эйлера $\cos x=\dfrac {1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$, $\sin x=\dfrac {1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$, вычислить интеграл ($m$ и $n$ — целые положительные числа): $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\dfrac {\cos (2n+1)x}{\cos x}\, dx$.

Пользуясь формулами Эйлера $\cos x=\dfrac {1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$, $\sin x=\dfrac {1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$, вычислить интеграл ($m$ и $n$ — целые положительные числа): $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\cos^{n}x\cos nx\, dx$.

Пользуясь формулами Эйлера $\cos x=\dfrac {1}{2}(e^{ix}+e^{-ix})$, $\sin x=\dfrac {1}{2i}(e^{ix}-e^{-ix})$, вычислить интеграл ($m$ и $n$ — целые положительные числа): $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\sin^{n}x\sin nx\, dx$.

Найти интеграл ($n$ — натуральное число): $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\sin^{n-1}x\cos (n+1)x\, dx$.

Найти интеграл ($n$ — натуральное число): $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }\cos^{n-1}x\sin (n+1)x\, dx$.

Найти интеграл ($n$ — натуральное число): $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }e^{-ax}\cos^{2n}x\, dx$.

Найти интеграл ($n$ — натуральное число): $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\ln \cos x\cdot \cos 2nx\, dx$.

Применяя многократное интегрирование по частям, вычислить интеграл Эйлера: $B(m,n)=\displaystyle \int \limits_{0}^{1}x^{m-1}(1-x)^{n-1}\, dx$, где $m$ и $n$ — целые положительные числа.

Многочлен Лежандра $P_{n}(x)$ определяется формулой: $P_{n}(x)=\dfrac {1}{2^{n}n!}\dfrac {d^{n}}{dx^{n}}\left[(x^{2}-1)^{n}\right]$ ($n=0,1,2,\ldots$). Доказать, что

Пусть функция $f(x)$ собственно интегрируема на $[a,b]$ и $F(x)$ — функция такая, что $F'(x)=f(x)$ всюду в $[a,b]$, за исключением, быть может, конечного числа внутренних точек $c_{i}$ ($i=1,\ldots ,p$) и точек $a$ и $b$, где функция $F(x)$ терпит разрыв 1-го рода («обобщенная первообразная»). Доказать, что

Пусть функция $f(x)$ собственно интегрируема на сегменте $[a,b]$ и $F(x)=C+\displaystyle \int \limits_{a}^{x}f(\xi )\, d\xi$ — ее неопределенный интеграл. Доказать, что функция $F(x)$ непрерывна и во всех точках непрерывности функции $f(x)$ имеет место равенство $F'(x)=f(x)$.

Что можно сказать о производной функции $F(x)$ в точках разрыва функции $f(x)$? Рассмотреть примеры:

Найти неопределенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \operatorname {sgn}x\, dx$.

Найти неопределенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \operatorname {sgn}(\sin x)\, dx$.

Найти неопределенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \left[x\right]\, dx$ ($x \geqslant 0$).

Найти неопределенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int x\left[x\right]\, dx$ ($x \geqslant 0$).

Найти неопределенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int (-1)^{\left[x\right]}\, dx$.

Найти неопределенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \limits_{0}^{x}f(x)\, dx$, где $f(x)=\begin{cases} 1, & \text{если } \left|x\right|<l, \\ 0, & \text{если } \left|x\right|>l.\end{cases}$

Вычислить определенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \limits_{0}^{3}\operatorname {sgn}(x-x^{3})\, dx$.

Вычислить определенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \limits_{0}^{2}\left[e^{x}\right]\, dx$.

Вычислить определенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \limits_{0}^{6}\left[x\right]\sin \dfrac {\pi x}{6}\, dx$.

Вычислить определенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }x\operatorname {sgn}(\cos x)\, dx$.

Вычислить определенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \limits_{1}^{n+1}\ln \left[x\right]\, dx$, где $a$ — натуральное число.

Вычислить определенный интеграл от ограниченной разрывной функции: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\operatorname {sgn}\left[\sin (\ln x)\right]\, dx$.

Найти $\displaystyle \int \limits_{E}\left|\cos x\right|\sqrt{\sin x}\, dx$, где $E$ — множество тех значений сегмента $[0,4\pi ]$, для которых подынтегральное выражение имеет смысл.