Вычисление длин дуг

Найти длину дуги кривой $y=x^{3/2}$ ($0 \leqslant x \leqslant 4$).

Найти длину дуги кривой $y^{2}=2px$ ($0 \leqslant x \leqslant x_{0}$).

Найти длину дуги кривой $y=a\operatorname {ch}\dfrac {x}{a}$ от точки $A(0,a)$ до точки $B(b,h)$.

Найти длину дуги кривой $y=e^{x}$ ($0 \leqslant x \leqslant x_{0}$).

Найти длину дуги кривой $x=\dfrac {1}{4}y^{2}-\dfrac {1}{2}\ln y$ ($1 \leqslant y \leqslant e$).

Найти длину дуги кривой $y=a\ln \dfrac {a^{2}}{a^{2}-x^{2}}$ ($0 \leqslant x \leqslant b<a$).

Найти длину дуги кривой $y=\ln \cos x$ $\left(0 \leqslant x \leqslant a<\dfrac {\pi }{2}\right)$.

Найти длину дуги кривой $x=a\ln \dfrac {a+\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{y}-\sqrt{a^{2}-y^{2}}$ ($0<b \leqslant y \leqslant a$).

Найти длину дуги кривой $y^{2}=\dfrac {x^{3}}{2a-x}$ $\left(0 \leqslant x \leqslant \dfrac {5}{3}a\right)$.

Найти длину дуги кривой $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ (астроида).

Найти длину дуги кривой, заданной параметрически: $x=\dfrac {c^{2}}{a}\cos^{3}t$, $y=\dfrac {c^{2}}{b}\sin^{3}t$, $c^{2}=a^{2}-b^{2}$ (эволюта эллипса).

Найти длину дуги кривой, заданной параметрически: $x=\cos^{4}t$, $y=\sin^{4}t$.

Найти длину дуги кривой, заданной параметрически: $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ ($0 \leqslant t \leqslant 2\pi$).

Найти длину дуги кривой, заданной параметрически: $x=a(\cos t+t\sin t)$, $y=a(\sin t-t\cos t)$ при $0 \leqslant t \leqslant 2\pi$ (развертка окружности).

Найти длину дуги кривой, заданной параметрически: $x=a(\operatorname {sh}t-t)$, $y=a(\operatorname {ch}t-1)$ ($0 \leqslant t \leqslant T$).

Найти длину дуги кривой, заданной параметрически: $x=\operatorname {ch}^{3}t$, $y=\operatorname {sh}^{3}t$ ($0 \leqslant t \leqslant T$).

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $r=a\varphi$ (спираль Архимеда) при $0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi$.

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $r=ae^{m\varphi }$ ($m>0$) при $0<r<a$.

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $r=a(1+\cos \varphi )$.

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $r=\dfrac {p}{1+\cos \varphi }$ ($\left|\varphi \right| \leqslant \dfrac {\pi }{2}$).

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $r=a\sin^{3}\dfrac {\varphi }{3}$.

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $r=a\operatorname {th}\dfrac {\varphi }{2}$ ($0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi$).

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $\varphi =\dfrac {1}{2}\left(r+\dfrac {1}{r}\right)$ ($1 \leqslant r \leqslant 3$).

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $\varphi =\sqrt{r}$ ($0 \leqslant r \leqslant 5$).

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $\varphi =\displaystyle \int \limits_{0}^{r}\dfrac {\operatorname {sh}\rho }{\rho }\, d\rho$ ($0 \leqslant r \leqslant R$).

Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах: $r=1+\cos t$, $\varphi =t-\tg \dfrac {t}{2}$ ($0 \leqslant t \leqslant T<\pi$).

Доказать, что длина дуги эллипса $x=a\cos t$, $y=b\sin t$ равна длине одной волны синусоиды $y=c\sin \dfrac {x}{b}$, где $c=\sqrt{a^{2}-b^{2}}$.

Парабола $4ay=x^{2}$ катится по оси $Ox$. Доказать, что фокус параболы описывает цепную линию.

Найти отношение площади, ограниченной петлей кривой $y=\pm \left(\dfrac {1}{3}-x\right)\sqrt{x}$, к площади круга, длина окружности которого равна длине контура этой кривой.