Банк задач по математике

Задача 2316

(а)(б)(в)(г)

Определить знаки следующих определенных интегралов:

?

(а)

$\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }x\sin x\, dx$ ;

(б)

$\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }\dfrac {\sin x}{x}\, dx$ ;

(в)

$\displaystyle \int \limits_{-2}^{2}x^{3}2^{x}\, dx$ ;

(г)

$\displaystyle \int \limits_{1/2}^{1}x^{2}\ln x\, dx$ .

Задача 2317

(а)(б)(в)

Какой интеграл больше:

?

(а)

$\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\sin^{10}x\, dx$ или $\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi /2}\sin^{9}x\, dx$ ?

(б)

$\displaystyle \int \limits_{0}^{1}e^{-x}\, dx$ или $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}e^{-x^{2}}\, dx$ ?

(в)

$\displaystyle \int \limits_{0}^{\pi }e^{-x^{2}}\cos^{2}x\, dx$ или $\displaystyle \int \limits_{\pi }^{2\pi }e^{-x^{2}}\cos^{2}x\, dx$ ?

Задача 2318

(а)(б)(в)(г)

Определить средние значения данных функций в указанных промежутках:

?

(а)

$f(x)=x^{2}$ на $[0,1]$ ;

(б)

$f(x)=\sqrt{x}$ на $[0,100]$ ;

(в)

$f(x)=10+2\sin x+3\cos x$ на $[0,2\pi ]$ ;

(г)

$f(x)=\sin x\sin (x+\varphi )$ на $[0,2\pi ]$ .

Задача 2319

Найти среднее значение длины фокального радиуса-вектора эллипса $r=\dfrac {p}{1-\varepsilon \cos \varphi }$ ( $0<\varepsilon <1$ ).

?

Задача 2320

Найти среднее значение скорости свободно падающего тела, начальная скорость которого равна $v_{0}$ .

?

Задача 2321

Сила переменного тока меняется по закону $i=i_{0}\sin \left(\dfrac {2\pi t}{T}+\varphi \right)$ , где $i_{0}$ — амплитуда, $t$ — время, $T$ — период и $\varphi$ — начальная фаза. Найти среднее значение квадрата силы тока.

?

Задача 2321.1

Пусть $f(x) \in C[0,+\infty )$ и $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }f(x)=A$ . Найти $\displaystyle \lim_{x \to +\infty }\dfrac {1}{x}\int \limits_{0}^{x}f(x)\, dx$ . Рассмотреть пример $f(x)=\arctg x$ .

?

Задача 2322

(а)(б)(в)

Пусть $\displaystyle \int \limits_{0}^{x}f(t)\, dt=xf(\theta x)$ . Найти $\theta$ , если:

?

(а)

$f(t)=t^{n}$ ( $n>-1$ );

(б)

$f(t)=\ln t$ ;

(в)

$f(t)=e^{t}$ .

Чему равны $\lim \limits_{x \to +0}\theta$ и $\lim \limits_{x \to +\infty }\theta$ ?

Задача 2323

Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{2\pi }\dfrac {dx}{1+0{,}5\cos x}$ .

?

Задача 2324

Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{1}\dfrac {x^{9}\, dx}{\sqrt{1+x}}$ .

?

Задача 2325

Пользуясь первой теоремой о среднем, оценить интеграл: $\displaystyle \int \limits_{0}^{100}\dfrac {e^{-x}}{x+100}\, dx$ .

?

Задача 2326

(а)(б)

Доказать равенства:

?

(а)

(б)

$\displaystyle \lim_{n \to \infty }\int \limits_{0}^{\pi /2}\sin^{n}x\, dx=0$ .

Задача 2326.1

(а)(б)

Найти:

?

(а)

$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to 0}\int \limits_{0}^{1}\dfrac {dx}{\varepsilon x^{2}+1}$ ;

(б)

$\displaystyle \lim_{\varepsilon \to +0}\int \limits_{a\varepsilon }^{b}f(x)\dfrac {dx}{x}$ ,

где $a>0$ , $b>0$ и $f(x) \in C[0,1]$ .

Задача 2327

Пусть $f(x)$ непрерывна на $[a,b]$ и $\varphi (x)$ непрерывна на $[a,b]$ и дифференцируема на $(a,b)$ , причем $\varphi '(x)>0$ при $a<x<b$ .

Доказать вторую теорему о среднем, применяя интегрирование по частям и используя первую теорему о среднем.

?

Задача 2328

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интеграл: $\displaystyle \int \limits_{100\pi }^{200\pi }\dfrac {\sin x}{x}\, dx$ .

?

Задача 2329

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интеграл: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}\dfrac {e^{-\alpha x}}{x}\sin x\, dx$ ( $\alpha >0$ ; $0<a<b$ ).

?

Задача 2330

Пользуясь второй теоремой о среднем, оценить интеграл: $\displaystyle \int \limits_{a}^{b}\sin x^{2}\, dx$ ( $0<a<b$ ).

?

Задача 2331

Пусть функции $\varphi (x)$ и $\psi (x)$ интегрируемы на промежутке $[a,b]$ вместе со своими квадратами. Доказать неравенство Коши—Буняковского

\left[\int \limits _{a}^{b}\varphi (x)\psi (x)\, dx\right]^{2} \leqslant \int \limits _{a}^{b}\varphi ^{2}(x)\, dx\int \limits _{a}^{b}\psi ^{2}(x)\, dx.

?

Задача 2332

Пусть функция $f(x)$ непрерывно дифференцируема на сегменте $[a,b]$ и $f(a)=0$ . Доказать неравенство $M^{2} \leqslant (b-a)\displaystyle \int \limits_{a}^{b}f'^{2}(x)\, dx$ , где $M=\sup \limits_{a \leqslant x \leqslant b}\left|f(x)\right|$ .

?

Задача 2333

Доказать равенство $\displaystyle \lim_{n \to \infty }\int \limits_{n}^{n+p}\dfrac {\sin x}{x}\, dx=0$ ( $p>0$ ).

?

Теоремы о среднем