Вычисление площадей

Доказать, что площадь прямого параболического сегмента равна $S=\dfrac {2}{3}bh$, где $b$ — основание и $h$ — высота сегмента.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $ax=y^{2}$, $ay=x^{2}$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y=x^{2}$, $x+y=2$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y=2x-x^{2}$, $x+y=0$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y=\left|\lg x\right|$, $y=0$, $x=0{,}1$, $x=10$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y=2^{x}$, $y=2$, $x=0$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y=(x+1)^{2}$, $x=\sin \pi y$, $y=0$ ($0 \leqslant y \leqslant 1$).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y=x$; $y=x+\sin^{2}x$ ($0 \leqslant x \leqslant \pi$).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y=\dfrac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}$, $y=0$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y^{2}=x^{2}(a^{2}-x^{2})$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y^{2}=2px$, $27py^{2}=8(x-p)^{3}$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}=1$ ($A>1$, $AC-B^{2}>0$).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y^{2}=\dfrac {x^{3}}{2a-x}$ (циссоида), $x=2a$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $x=a\ln \dfrac {a+\sqrt{a^{2}-y^{2}}}{y}-\sqrt{a^{2}-y^{2}}$, $y=0$ (трактриса).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y^{2}=\dfrac {x^{n}}{(1+x^{n+2})^{2}}$ ($x>0$; $n>-2$).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в прямоугольных координатах: $y=e^{-x}\left|\sin x\right|$, $y=0$ ($x \geqslant 0$).

В каком отношении парабола $y^{2}=2x$ делит площадь круга $x^{2}+y^{2}=8$?

Выразить координаты точки $M(x,y)$ гиперболы $x^{2}-y^{2}=1$ как функции площади гиперболического сектора $S=OM'M$, ограниченного дугой гиперболы $M'M$ и двумя лучами $OM$ и $OM'$, где $M'(x,-y)$ — точка, симметричная $M$ относительно оси $Ox$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически: $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ ($0 \leqslant t \leqslant 2\pi$) (циклоида) и $y=0$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически: $x=2t-t^{2}$, $y=2t^{2}-t^{3}$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически: $x=a(\cos t+t\sin t)$, $y=a(\sin t-t\cos t)$ ($0 \leqslant t \leqslant 2\pi$) (развертка круга) и $x=a$, $y \leqslant 0$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически: $x=a(2\cos t-\cos 2t)$, $y=a(2\sin t-\sin 2t)$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически: $x=\dfrac {c^{2}}{a}\cos^{3}t$, $y=\dfrac {c^{2}}{b}\sin^{3}t$ ($c^{2}=a^{2}-b^{2}$) (эволюта эллипса).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными параметрически: $x=a\cos t$, $y=\dfrac {a\sin^{2}t}{2+\sin t}$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах: $r^{2}=a^{2}\cos 2\varphi$ (лемниската).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах: $r=a(1+\cos \varphi )$ (кардиоида).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах: $r=a\sin 3\varphi$ (трилистник).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах: $r=\dfrac {p}{1-\cos \varphi }$ (парабола), $\varphi =\dfrac {\pi }{4}$, $\varphi =\dfrac {\pi }{2}$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах: $r=\dfrac {p}{1+\varepsilon \cos \varphi }$ ($0<\varepsilon <1$) (эллипс).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной в полярных координатах: $r=3+2\cos \varphi$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах: $r=\dfrac {1}{\varphi }$, $r=\dfrac {1}{\sin \varphi }$ ($0<\varphi \leqslant \dfrac {\pi }{2}$).

Найти площадь фигуры, ограниченной кривыми, заданными в полярных координатах: $r=a\cos \varphi$, $r=a(\cos \varphi +\sin \varphi )$ ($M\left(\dfrac {a}{2},0\right) \in S$).

Найти площадь сектора, ограниченного кривой $\varphi =r\operatorname {arctg}r$ и двумя лучами $\varphi =0$ и $\varphi =\dfrac {\pi }{\sqrt{3}}$.

Найти площадь фигуры, ограниченной кривой $r^{2}+\varphi^{2}=1$.

Найти площадь фигуры, ограниченной лепестком кривой $\varphi =\sin (\pi r)$ ($0 \leqslant r \leqslant 1$).

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $\varphi =4r-r^{3}$, $\varphi =0$.

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями $\varphi =r-\sin r$, $\varphi =\pi$.

Найти площадь фигуры, ограниченной замкнутой кривой $r=\dfrac {2at}{1+t^{2}}$, $\varphi =\dfrac {\pi t}{1+t}$.

Перейдя к полярным координатам, найти площадь фигуры, ограниченной кривой $x^{3}+y^{3}=3axy$ (лист Декарта).

Перейдя к полярным координатам, найти площадь фигуры, ограниченной кривой $x^{4}+y^{4}=a^{2}(x^{2}+y^{2})$.

Перейдя к полярным координатам, найти площадь фигуры, ограниченной кривой $(x^{2}+y^{2})^{2}=2a^{2}xy$ (лемниската).

Приведя уравнение к параметрическому виду, найти площадь фигуры, ограниченной кривой $x^{2/3}+y^{2/3}=a^{2/3}$ (астроида).

Приведя уравнение к параметрическому виду, найти площадь фигуры, ограниченной кривой $x^{4}+y^{4}=ax^{2}y$.