Вычисление объемов

Найти объем чердака, основание которого есть прямоугольник со сторонами $a$ и $b$, верхнее ребро равно $c$, а высота равна $h$.

Найти объем обелиска, параллельные основания которого суть прямоугольники со сторонами $A$, $B$ и $a$, $b$, а высота равна $h$.

Найти объем усеченного конуса, основания которого суть эллипсы с полуосями $A$, $B$ и $a$, $b$, а высота равна $h$.

Найти объем параболоида вращения, основание которого $S$, а высота равна $H$.

Пусть для кубируемого тела площадь $S=S(x)$ его поперечного сечения, перпендикулярного к оси $Ox$, изменяется по квадратичному закону: $S(x)=Ax^{2}+Bx+C$ $[a \leqslant x \leqslant b]$, где $A$, $B$ и $C$ — постоянные.

Доказать, что объем этого тела равен

где $H=b-a$ (формула Симпсона).

Тело представляет собой множество точек $M(x,y,z)$, где $0 \leqslant z \leqslant 1$, причем $0 \leqslant x \leqslant 1$, $0 \leqslant y \leqslant 1$, если $z$ рационально, и $-1 \leqslant x \leqslant 0$, $-1 \leqslant y \leqslant 0$, если $z$ иррационально. Доказать, что объем этого тела не существует, хотя соответствующий интеграл

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}=1$, $z=\dfrac {c}{a}x$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью: $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}+\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$ (эллипсоид).

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{b^{2}}-\dfrac {z^{2}}{c^{2}}=1$, $z=\pm c$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $x^{2}+z^{2}=a^{2}$, $y^{2}+z^{2}=a^{2}$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}$, $x^{2}+y^{2}=ax$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $z^{2}=b(a-x)$, $x^{2}+y^{2}=ax$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $\dfrac {x^{2}}{a^{2}}+\dfrac {y^{2}}{z^{2}}=1$ ($0<z<a$).

Найти объем тела, ограниченного поверхностями: $x+y+z^{2}=1$, $x=0$, $y=0$, $z=0$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью: $x^{2}+y^{2}+z^{2}+xy+yz+zx=a^{2}$.

Доказать, что объем тела, образованного вращением вокруг оси $Oy$ плоской фигуры $a \leqslant x \leqslant b$, $0 \leqslant y \leqslant y(x)$, где $y(x)$ — однозначная непрерывная функция, равен $V_{y}=2\pi \displaystyle \int \limits_{a}^{b}xy(x)\, dx$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении отрезка линии $y=b\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2/3}$ ($0 \leqslant x \leqslant a$) вокруг оси $Ox$ (нейлоид).

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении отрезка линии $y=2x-x^{2}$, $y=0$:

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении отрезка линии $y=\sin x$, $y=0$ ($0 \leqslant x \leqslant \pi$):

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении отрезков линий $y=b\left(\dfrac {x}{a}\right)^{2}$, $y=b\left|\dfrac {x}{a}\right|$:

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении отрезка линии $y=e^{-x}$, $y=0$ ($0 \leqslant x<+\infty$):

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении окружности $x^{2}+(y-b)^{2}=a^{2}$ ($0<a \leqslant b$) вокруг оси $Ox$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении кривой $x^{2}-xy+y^{2}=a^{2}$ вокруг оси $Ox$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении линии $y=e^{-x}\sqrt{\sin x}$ ($0 \leqslant x<+\infty$) вокруг оси $Ox$.

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении линии $x=a(t-\sin t)$, $y=a(1-\cos t)$ ($0 \leqslant t \leqslant 2\pi$), $y=0$:

Найти объем тела, ограниченного поверхностью, полученной при вращении линии $x=a\sin^{3}t$, $y=b\cos^{3}t$ ($0 \leqslant t \leqslant 2\pi$):

Найти объем тела, образованного вращением площади петли кривой $x=2t-t^{2}$, $y=4t-t^{3}$ вокруг:

Доказать, что объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси плоской фигуры $0 \leqslant \alpha \leqslant \varphi \leqslant \beta \leqslant \pi$, $0 \leqslant r \leqslant r(\varphi )$ ($\varphi$ и $r$ — полярные координаты), равен

Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры $r=a(1+\cos \varphi )$ ($0 \leqslant \varphi \leqslant 2\pi$):

Найти объем тела, образованного вращением плоской фигуры $(x^{2}+y^{2})^{2}=a^{2}(x^{2}-y^{2})$:

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полувитком спирали Архимеда $r=a\varphi$ ($a>0$; $0 \leqslant \varphi \leqslant \pi$), вокруг полярной оси.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями $\varphi =\pi r^{3}$, $\varphi =\pi$, вокруг полярной оси.

Найти объем тела, образованного вращением фигуры $a \leqslant r \leqslant a\sqrt{2\sin 2\varphi }$ вокруг полярной оси.