Банаховы алгебры и спектральная теория операторов в банаховом пространстве

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра, являющаяся также банаховым пространством, такая, что если $a \in \mathcal{A}$, отображения $x \mapsto ax$ и $x \mapsto xa$ из $\mathcal{A} \to \mathcal{A}$ непрерывны. Пусть $\mathcal{A}_1 = \mathcal{A} \times \mathbb {F}$, как в предложении 1.3. Если $a \in \mathcal{A}$, определим $L_a: \mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_1$ как $L_a(x, \xi ) = (ax + \xi a, 0)$. Покажите, что $L_a \in \mathcal{B}(\mathcal{A}_1)$ и, если $\vertiii {a} = \left\| L_a\right\|$, то $\vertiii {\cdot }$ эквивалентна норме на $\mathcal{A}$, и $\mathcal{A}$ с $\vertiii {\cdot }$ является банаховой алгеброй.

Завершите доказательство следующего предложения. Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра без единицы, пусть $\mathcal{A}_1 = \mathcal{A} \times \mathbb {F}$. Определим алгебраические операции на $\mathcal{A}_1$ как

Определим $\left\| (a, \alpha )\right\| = \left\| a\right\| + \left|\alpha \right|$. Тогда $\mathcal{A}_1$ с этой нормой и алгебраическими операциями, определёнными выше, является банаховой алгеброй с единицей $(0, 1)$, и $a \mapsto (a, 0)$ — изометрический изоморфизм $\mathcal{A}$ в $\mathcal{A}_1$.

Проверьте утверждения, сделанные в примерах (1.4)--(1.9) и (1.11).

Пусть $G$ — локально компактная группа.

Докажите следующее предложение. Если $\{ \mathcal{A}_i\}$ — совокупность банаховых алгебр, то $\bigoplus_0 \mathcal{A}_i$ и $\bigoplus_\infty \mathcal{A}_i$ являются банаховыми алгебрами, где $\bigoplus_0 \mathcal{A}_i \equiv \left\{ a \in \prod_i \mathcal{A}_i : \text{для всех } \varepsilon > 0, \{ i : \left\| a(i)\right\| \ge \varepsilon \} \text{ конечно}\right\}$.

Пусть $\{ \mathcal{A}_i : i \in I\}$ — совокупность банаховых алгебр.

Если $X, Y$ вполне регулярны, покажите, что $C_b(X) \oplus_\infty C_b(Y)$ изометрически изоморфно $C_b(X \oplus Y)$, где $X \oplus Y$ — дизъюнктное объединение $X$ и $Y$.

Если $X$ и $Y$ локально компактны, покажите, что $C_0(X) \oplus_\infty C_0(Y)$ изометрически изоморфно $C_0(X \oplus Y)$.

Пусть $\{ X_i : i \in I\}$ — совокупность локально компактных пространств и $X =$ дизъюнктное объединение этих пространств, снабжённое топологией $\left\{ U \subseteq X : U \cap X_i \text{ открыто в } X_i \text{ для всех } i\right\}$. Покажите, что $X$ локально компактно и $\bigoplus_0 C_0(X_i)$ изометрически изоморфно $C_0(X)$.

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра и $\mathcal{L}$ — совокупность всех замкнутых левых идеалов в $\mathcal{A}$. Если $I_1, I_2 \in \mathcal{L}$, определим $I_1 \vee I_2 \equiv \text{cl}(I_1 + I_2)$ и $I_1 \wedge I_2 = I_1 \cap I_2$. Покажите, что при этих определениях $\mathcal{L}$ — полная решётка с наибольшим и наименьшим элементами.

Пусть $X$ локально компактно. Для всякого открытого подмножества $U$ пространства $X$ пусть $I(U) = \left\{ \phi \in C_0(X) : \phi = 0 \text{ на } X \setminus U\right\}$. Покажите, что $U \mapsto I(U)$ — решёточный мономорфизм совокупности открытых подмножеств $X$ в решётку замкнутых идеалов $C_0(X)$. (На самом деле, он сюръективен, но доказательство этого следует отложить.)

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $I$ — слабо-* замкнутый идеал в $L^\infty (X, \Omega , \mu )$. Покажите, что существует множество $\Delta$ в $\Omega$ такое, что $I = \left\{ \phi \in L^\infty (X, \Omega , \mu ) : \phi = 0 \text{ п.в. на } \Delta \right\}$.

Пусть

и пусть

Покажите, что $\mathcal{A}$ — банахова алгебра и $\mathcal{M}$ — максимальный идеал в $\mathcal{A}$.

Покажите, что при $n \ge 1$ $M_n(\mathbb {C})$ не имеет нетривиальных идеалов. Как обстоит дело с $M_n(\mathbb {R})$?

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра, но не будем предполагать, что $\mathcal{A}$ имеет единицу. Если $I$ — левый идеал $\mathcal{A}$, будем говорить, что $I$ — модулярный левый идеал, если существует $u$ в $\mathcal{A}$ такое, что $\mathcal{A}(1 - u) \equiv \left\{ a - au : a \in \mathcal{A}\right\} \subseteq I$; назовём такой элемент $u$ алгебры $\mathcal{A}$ правой модулярной единицей для $I$. Аналогично определим правые модулярные идеалы и левые модулярные единицы. Докажите следующее.

Используя терминологию упражнения 6, пусть $I$ — идеал алгебры $\mathcal{A}$. Покажите:

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра, сеть $\{ e_i\}$ в $\mathcal{A}$ называется приближённой единицей для $\mathcal{A}$, если $\sup_i \left\| e_i\right\| < \infty$ и для каждого $a$ из $\mathcal{A}$, $e_i a \to a$ и $a e_i \to a$. Покажите, что $\mathcal{A}$ имеет приближённую единицу тогда и только тогда, когда существует ограниченное подмножество $E$ алгебры $\mathcal{A}$ такое, что для всякого $\varepsilon > 0$ и для всякого $a$ из $\mathcal{A}$ найдётся $e$ из $E$ такое, что $\left\| ae - a\right\| + \left\| ea - a\right\| < \varepsilon$.

Покажите, что если $X$ локально компактно, то $C_0(X)$ имеет приближённую единицу.

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, покажите, что $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ имеет приближённую единицу.

Если $G$ — локально компактная группа, покажите, что $L^1(G)$ (1.11) имеет приближённую единицу.

Для $0 < r < 1$ пусть $P_r: \partial \mathbb {D} \to [0, \infty )$ определён как $P_r(z) = \sum_{n=-\infty }^\infty r^{\left|n\right|} z^n$ (ядро Пуассона). Покажите, что $\{ P_r\}$ является приближённой единицей для $L^1(\partial \mathbb {D})$ (относительно свёртки).

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и $P$ — проектор, покажите, что $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})P$ — замкнутый модулярный левый идеал алгебры $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$. Какова соответствующая правая модулярная единица?

Найдите минимальные собственные левые идеалы $M_n(\mathbb {F})$.

Найдите минимальные замкнутые собственные левые идеалы $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$, где $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство. Как обстоит дело для $\mathcal{B}_0(\mathcal{X})$, где $\mathcal{X}$ — банахово пространство?

Каковы максимальные модулярные левые идеалы $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$, где $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство?

Пусть $S$ — односторонний сдвиг на $\ell^2$, оператор гильбертова пространства, определённый как $S(x_1, x_2, x_3, \ldots ) = (0, x_1, x_2, \ldots )$. Покажите, что $S$ обратим слева, но не обратим справа.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей и $a \in \mathcal{A}$ нильпотентен (то есть $a^n = 0$ для некоторого $n$), то $\sigma (a) = \{ 0\}$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $\mathcal{A} = L^\infty (X, \Omega , \mu )$ (1.6). Если $\phi \in \mathcal{A}$, покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

Если $G$ — открытое подмножество $\mathbb {C}$ и $f: G \to \mathcal{X}$ — функция такая, что для каждого $x^*$ из $\mathcal{X}^*$, $x^* \circ f: G \to \mathbb {C}$ аналитична, то $f$ аналитична. Если слово «непрерывна» подставить вместо обоих вхождений слова «аналитична», останется ли предыдущее утверждение верным?

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей, $\{ a_n\} \subseteq \mathcal{A}$, $a_n \to a$, $\alpha_n \in \sigma (a_n)$ и $\alpha_n \to \alpha$, то $\alpha \in \sigma (a)$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей и $r: \mathcal{A} \to [0, \infty )$ — спектральный радиус, покажите, что $r$ полунепрерывен сверху. Если $a \in \mathcal{A}$ такой, что $r(a) = 0$, покажите, что $r$ непрерывен в точке $a$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей, $a, b \in \mathcal{A}$ и $\alpha$ — ненулевой скаляр такой, что $(\alpha - ab)$ обратим, покажите, что $(\alpha - ba)$ обратим и $(\alpha - ba)^{-1} = \alpha^{-1} + \alpha^{-1} b(\alpha - ab)^{-1} a$. Покажите, что $\sigma (ab) \cup \{ 0\} = \sigma (ba) \cup \{ 0\}$, и приведите пример, для которого $\sigma (ab) \ne \sigma (ba)$.

Пусть $\mathcal{A} = C(X)$, $X$ компактно (см. пример 3.2). Если $g \in C(X)$ и $f \in \text{Hol}(g)$, покажите, что $f(g) = f \circ g$.

Пусть $a$ — нильпотентный элемент $\mathcal{A}$. Для $f, g$ из $\text{Hol}(a)$ дайте необходимое и достаточное условие на $f$ и $g$, при котором $f(a) = g(a)$.

Пусть $d \ge 1$ и $A \in M_d(\mathbb {C})$. Дайте необходимое и достаточное условие на $f$ из $\text{Hol}(A)$, при котором $f(A) = 0$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей, $a \in \mathcal{A}$, $f \in \text{Hol}(a)$ и $g$ аналитична в окрестности $f(\sigma (a))$, то $g \circ f \in \text{Hol}(a)$ и $g(f(a)) = g \circ f(a)$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и $\mathcal{M} \le \mathcal{X}$ такое, что $(A - \alpha )^{-1} \mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}$ для всех $\alpha$ из $\rho (A)$, покажите, что $f(A) \mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}$ всякий раз, когда $f \in \text{Hol}(A)$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и $f \in \text{Hol}(A)$, покажите, что $f(A)^* = f(A^*)$. (См. (6.1) ниже.)

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $f \in \text{Hol}(A)$, покажите, что $f(A)^* = \tilde{f}(A^*)$, где $\tilde{f}(z) = \overline{f(\bar{z})}$. (См. (6.1) ниже.)

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, $A$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ и $f \in \text{Hol}(A)$, покажите, что $f(A)$ нормален.

Пусть $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$. Покажите, что если $\sigma (A) = F_1 \cup F_2$, где $F_1, F_2$ — непересекающиеся замкнутые подмножества $\mathbb {C}$, то существуют топологически дополняемые подпространства $\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2$ пространства $\mathcal{X}$ такие, что

Пусть $A \in M_d(\mathbb {C})$, $\sigma (A) = \{ \alpha_1, \ldots , \alpha_n\}$, где $\alpha_i \ne \alpha_j$ при $i \ne j$. Покажите, что при $1 \le j \le n$ найдётся матрица $A_j$ в $M_{d_j}(\mathbb {C})$ такая, что $\sigma (A_j) = \{ \alpha_j\}$ и $A$ подобна $A_1 \oplus \cdots \oplus A_n$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра, $I$ — идеал алгебры $\mathcal{A}$ (не обязательно замкнутый), $a \in I$ и $f \in \text{Hol}(a)$ такова, что $f(0) = 0$, покажите, что $f(a) \in I$.

Если $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, пусть $P(K)$ — замыкание многочленов в $C(K)$. Покажите, что тождественное отображение на многочленах продолжается до изометрического изоморфизма $P(K)$ на $P(\hat{K})$.

Если $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, пусть $R(K)$ — замыкание в $C(K)$ всех рациональных функций с полюсами вне $K$. Если $f \in R(K)$, покажите, что $\sigma_{R(K)}(f) = f(K)$. Если $f \in P(K)$, покажите, что $\sigma_{P(K)}(f) = \hat{f}(\hat{K})$, где $\hat{f}$ — естественное продолжение $f$ на $\hat{K}$.

Пусть $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ — банаховы алгебры с общей единицей такие, что $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ и $a \in \mathcal{B}$; напомним, что тогда $\sigma_{\mathcal{A}}(a) \subseteq \sigma_{\mathcal{B}}(a)$, а $\sigma_{\mathcal{A}}(a)$ и $\sigma_{\mathcal{B}}(a)$ имеют одну и ту же полиномиально выпуклую оболочку. Если $\sigma_{\mathcal{A}}(a) \subseteq \mathbb {R}$, покажите, что $\sigma_{\mathcal{B}}(a) = \sigma_{\mathcal{A}}(a)$.

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей и $a \in \mathcal{A}$. Если $G_1, G_2, \ldots$ — дыры $\sigma_{\mathcal{A}}(a)$ и $1 \le n_1 \le n_2 \le \cdots$, покажите, что существует подалгебра $\mathcal{B}$ алгебры $\mathcal{A}$ такая, что $a \in \mathcal{B}$ и $\sigma_{\mathcal{B}}(a) = \sigma_{\mathcal{A}}(a) \cup \bigcup_{k=1}^\infty G_{n_k}$.

Если $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ и $a$ такие же, как в упражнении 3 (при этом $\mathcal{A}$ не абелева, а $\mathcal{B}$ — максимальная абелева подалгебра $\mathcal{A}$), покажите, что $\sigma_{\mathcal{A}}(a) = \sigma_{\mathcal{B}}(a)$.

Если $K$ — непустое компактное подмножество $\mathbb {C}$, являющееся полиномиально выпуклым, покажите, что компоненты $\text{int}\, K$ односвязны.

Докажите следующее предложение.

Покажите, что для банахова пространства $\mathcal{X}$ и $A$ из $\mathcal{B}(\mathcal{X})$, $\sigma_l(A) = \sigma_r(A^*)$, где $\sigma_l$ и $\sigma_r$ обозначают левый и правый спектры $A$. Что происходит в гильбертовом пространстве?

Если $\mathcal{H}$ — бесконечномерное гильбертово пространство и $K$ — непустое компактное подмножество $\mathbb {C}$, покажите, что существует $A$ в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ такой, что $\sigma (A) = K$. Можно ли найти $A$ такой, что $\sigma (A) = \sigma_{ap}(A) = K$?

Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$. Существует ли оператор $A$ в $\mathcal{B}(C[0,1])$ такой, что $\sigma (A) = K$?

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, покажите, что $A$ обратим слева тогда и только тогда, когда $\ker A = (0)$ и $\text{ran}\, A$ — замкнутое дополняемое подпространство $\mathcal{X}$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, покажите, что $A$ обратим справа тогда и только тогда, когда $\text{ran}\, A = \mathcal{X}$ и $\ker A$ — дополняемое подпространство $\mathcal{X}$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $T: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ — изометрия, то либо $\sigma (T) \subseteq \partial \mathbb {D}$, либо $\sigma (T) = \text{cl}\, \mathbb {D}$.

Проверьте утверждения, сделанные в следующем примере. Пусть $\{ \alpha_n\} \in \ell^\infty$, $1 \le p \le \infty$, и определим $A: \ell^p \to \ell^p$ как $(Ax)(n) = \alpha_n x(n)$. Тогда $\sigma (A) = \text{cl}\{ \alpha_n\}$ и $\sigma_p(A) = \{ \alpha_n\}$. Для каждого $k$ определим $N_k = \left\{ n \in \mathbb {N} : \alpha_n = \alpha_k\right\}$ и определим $P_k: \ell^p \to \ell^p$ как $P_k x = \chi_{N_k} x$. Если $\alpha_k$ — изолированная точка $\sigma (A)$, то $\{ \alpha_k\}$ — открыто-замкнутое подмножество $\sigma (A)$ и $E(\{ \alpha_k\} ; A) = P_k$.

Пусть $1 \le p \le \infty$ и предположим, что $0 < \alpha_1 \le \alpha_2 \le \cdots$ такие, что $r = \lim \alpha_n < \infty$. Определим $A: \ell^p \to \ell^p$ как $A(x_1, x_2, \ldots ) = (0, \alpha_1 x_1, \alpha_2 x_2, \ldots )$. Покажите, что $\sigma (A) = \left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| \le r\right\}$ и $\sigma_{ap}(A) = \partial \sigma (A)$. Если $\left|\lambda \right| < r$, то $\text{ran}(A - \lambda )$ замкнуто и имеет коразмерность $1$. Кроме того, $\sigma_p(A) = \square$.

Проверьте утверждения, сделанные в следующем примере. Измеримая функция $k: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb {C}$ называется ядром Вольтерры, если $k$ ограничена и $k(x, y) = 0$ при $x < y$. Если $1 \le p \le \infty$ и $k$ — ядро Вольтерры, определим $V_k: L^p(0,1) \to L^p(0,1)$ как

Тогда $V_k \in \mathcal{B}(L^p)$ и $\left\| V_k\right\| \le \left\| k\right\|_\infty$. Если $k, h$ — ядра Вольтерры и $(hk)(x, y) = \int_0^1 h(x, t) k(t, y) \, dt$, то $hk$ — ядро Вольтерры, $\left\| hk\right\|_\infty \le \left\| h\right\|_\infty \left\| k\right\|_\infty$ и $V_{hk} = V_h V_k$. Если $k$ — характеристическая функция множества $\left\{ (x,y) \in [0,1] \times [0,1] : y < x\right\}$, то $V_k$ — оператор Вольтерры. Если $k$ — произвольное ядро Вольтерры, то $\sigma (V_k) = \{ 0\}$.

Пусть $1 \le p \le \infty$ и $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой. Для $\phi$ из $L^\infty (\mu )$ определим $M_\phi$ на $L^p(\mu )$ как оператор умножения $M_\phi f = \phi f$. Найдите $\sigma (M_\phi )$, $\sigma_{ap}(M_\phi )$ и $\sigma_p(M_\phi )$.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, $f \in \text{Hol}(A)$ и $\lambda \in \sigma_p(A)$, верно ли, что $f(\lambda ) \in \sigma_p(f(A))$? Если $\lambda \in \sigma_{ap}(A)$, верно ли, что $f(\lambda ) \in \sigma_{ap}(f(A))$? Существует ли связь между $f(\sigma_{ap}(A))$ и $\sigma_{ap}(f(A))$?

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, будем говорить, что комплексное число $\lambda$ имеет конечный индекс, если существует положительное целое число $k$ такое, что $\ker (A - \lambda )^k = \ker (A - \lambda )^{k+1}$; индекс $\lambda$, обозначаемый $\nu (\lambda )$ или $\nu_A(\lambda )$, — наименьшее такое целое число $k$.

Если $V$ — оператор Вольтерры, покажите, что $0$ — существенно особая точка функции $(z - V)^{-1}$.

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей. Если $a \in \mathcal{A}$, определим $L_a, R_a \in \mathcal{B}(\mathcal{A})$ как $L_a(x) = ax$ и $R_a(x) = xa$. Покажите, что $\sigma (L_a) = \sigma (R_a) = \sigma (a)$.

Если $E$ — проектор на гильбертовом пространстве и $E$ не равен ни $0$, ни $1$, то $\sigma (E) = \{ 0, 1\}$.

(Маккейб) Если $\mathcal{X}$ — комплексное банахово пространство и $T \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, покажите, что следующие утверждения эквивалентны.

Если $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ — конечномерные пространства и $\mathcal{M} \le \mathcal{N}$, $\mathcal{M} \ne \mathcal{N}$, то найдётся $y$ из $\mathcal{N}$ такое, что $\left\| y\right\| = 1$ и $\text{dist}(y, \mathcal{M}) = 1$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ — различные точки из $\sigma_p(A)$. Если $x_k \in \ker (A - \lambda_k)$, $1 \le k \le n$, и $x_k \ne 0$, покажите, что $\{ x_1, \ldots , x_n\}$ — линейно независимое множество.

Пусть $\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \ldots$ — банаховы пространства и положим $\mathcal{X} = \bigoplus_p \mathcal{X}_n$. Пусть $A_n \in \mathcal{B}(\mathcal{X}_n)$ такие, что $\sup_n \left\| A_n\right\| < \infty$, и определим $A: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ как $A\{ x_n\} = \{ A_n x_n\}$. Покажите, что $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и $\left\| A\right\| = \sup_n \left\| A_n\right\|$. Покажите, что $A \in \mathcal{B}_0(\mathcal{X})$ тогда и только тогда, когда каждый $A_n \in \mathcal{B}_0(\mathcal{X})$ и $\lim \left\| A_n\right\| = 0$.