Идеалы и факторалгебры

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра и $\mathcal{L}$ — совокупность всех замкнутых левых идеалов в $\mathcal{A}$. Если $I_1, I_2 \in \mathcal{L}$, определим $I_1 \vee I_2 \equiv \text{cl}(I_1 + I_2)$ и $I_1 \wedge I_2 = I_1 \cap I_2$. Покажите, что при этих определениях $\mathcal{L}$ — полная решётка с наибольшим и наименьшим элементами.

Пусть $X$ локально компактно. Для всякого открытого подмножества $U$ пространства $X$ пусть $I(U) = \left\{ \phi \in C_0(X) : \phi = 0 \text{ на } X \setminus U\right\}$. Покажите, что $U \mapsto I(U)$ — решёточный мономорфизм совокупности открытых подмножеств $X$ в решётку замкнутых идеалов $C_0(X)$. (На самом деле, он сюръективен, но доказательство этого следует отложить.)

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $I$ — слабо-* замкнутый идеал в $L^\infty (X, \Omega , \mu )$. Покажите, что существует множество $\Delta$ в $\Omega$ такое, что $I = \left\{ \phi \in L^\infty (X, \Omega , \mu ) : \phi = 0 \text{ п.в. на } \Delta \right\}$.

Пусть

и пусть

Покажите, что $\mathcal{A}$ — банахова алгебра и $\mathcal{M}$ — максимальный идеал в $\mathcal{A}$.

Покажите, что при $n \ge 1$ $M_n(\mathbb {C})$ не имеет нетривиальных идеалов. Как обстоит дело с $M_n(\mathbb {R})$?

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра, но не будем предполагать, что $\mathcal{A}$ имеет единицу. Если $I$ — левый идеал $\mathcal{A}$, будем говорить, что $I$ — модулярный левый идеал, если существует $u$ в $\mathcal{A}$ такое, что $\mathcal{A}(1 - u) \equiv \left\{ a - au : a \in \mathcal{A}\right\} \subseteq I$; назовём такой элемент $u$ алгебры $\mathcal{A}$ правой модулярной единицей для $I$. Аналогично определим правые модулярные идеалы и левые модулярные единицы. Докажите следующее.

Используя терминологию упражнения 6, пусть $I$ — идеал алгебры $\mathcal{A}$. Покажите:

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра, сеть $\{ e_i\}$ в $\mathcal{A}$ называется приближённой единицей для $\mathcal{A}$, если $\sup_i \left\| e_i\right\| < \infty$ и для каждого $a$ из $\mathcal{A}$, $e_i a \to a$ и $a e_i \to a$. Покажите, что $\mathcal{A}$ имеет приближённую единицу тогда и только тогда, когда существует ограниченное подмножество $E$ алгебры $\mathcal{A}$ такое, что для всякого $\varepsilon > 0$ и для всякого $a$ из $\mathcal{A}$ найдётся $e$ из $E$ такое, что $\left\| ae - a\right\| + \left\| ea - a\right\| < \varepsilon$.

Покажите, что если $X$ локально компактно, то $C_0(X)$ имеет приближённую единицу.

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, покажите, что $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$ имеет приближённую единицу.

Если $G$ — локально компактная группа, покажите, что $L^1(G)$ (1.11) имеет приближённую единицу.

Для $0 < r < 1$ пусть $P_r: \partial \mathbb {D} \to [0, \infty )$ определён как $P_r(z) = \sum_{n=-\infty }^\infty r^{\left|n\right|} z^n$ (ядро Пуассона). Покажите, что $\{ P_r\}$ является приближённой единицей для $L^1(\partial \mathbb {D})$ (относительно свёртки).

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство и $P$ — проектор, покажите, что $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})P$ — замкнутый модулярный левый идеал алгебры $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$. Какова соответствующая правая модулярная единица?

Найдите минимальные собственные левые идеалы $M_n(\mathbb {F})$.

Найдите минимальные замкнутые собственные левые идеалы $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$, где $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство. Как обстоит дело для $\mathcal{B}_0(\mathcal{X})$, где $\mathcal{X}$ — банахово пространство?

Каковы максимальные модулярные левые идеалы $\mathcal{B}_0(\mathcal{H})$, где $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство?