Спектр

Пусть $S$ — односторонний сдвиг на $\ell^2$, оператор гильбертова пространства, определённый как $S(x_1, x_2, x_3, \ldots ) = (0, x_1, x_2, \ldots )$. Покажите, что $S$ обратим слева, но не обратим справа.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей и $a \in \mathcal{A}$ нильпотентен (то есть $a^n = 0$ для некоторого $n$), то $\sigma (a) = \{ 0\}$.

Пусть $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой и $\mathcal{A} = L^\infty (X, \Omega , \mu )$ (1.6). Если $\phi \in \mathcal{A}$, покажите, что следующие утверждения эквивалентны:

Если $G$ — открытое подмножество $\mathbb {C}$ и $f: G \to \mathcal{X}$ — функция такая, что для каждого $x^*$ из $\mathcal{X}^*$, $x^* \circ f: G \to \mathbb {C}$ аналитична, то $f$ аналитична. Если слово «непрерывна» подставить вместо обоих вхождений слова «аналитична», останется ли предыдущее утверждение верным?

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей, $\{ a_n\} \subseteq \mathcal{A}$, $a_n \to a$, $\alpha_n \in \sigma (a_n)$ и $\alpha_n \to \alpha$, то $\alpha \in \sigma (a)$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей и $r: \mathcal{A} \to [0, \infty )$ — спектральный радиус, покажите, что $r$ полунепрерывен сверху. Если $a \in \mathcal{A}$ такой, что $r(a) = 0$, покажите, что $r$ непрерывен в точке $a$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей, $a, b \in \mathcal{A}$ и $\alpha$ — ненулевой скаляр такой, что $(\alpha - ab)$ обратим, покажите, что $(\alpha - ba)$ обратим и $(\alpha - ba)^{-1} = \alpha^{-1} + \alpha^{-1} b(\alpha - ab)^{-1} a$. Покажите, что $\sigma (ab) \cup \{ 0\} = \sigma (ba) \cup \{ 0\}$, и приведите пример, для которого $\sigma (ab) \ne \sigma (ba)$.