Функциональное исчисление Рисса

Пусть $\mathcal{A} = C(X)$, $X$ компактно (см. пример 3.2). Если $g \in C(X)$ и $f \in \text{Hol}(g)$, покажите, что $f(g) = f \circ g$.

Пусть $a$ — нильпотентный элемент $\mathcal{A}$. Для $f, g$ из $\text{Hol}(a)$ дайте необходимое и достаточное условие на $f$ и $g$, при котором $f(a) = g(a)$.

Пусть $d \ge 1$ и $A \in M_d(\mathbb {C})$. Дайте необходимое и достаточное условие на $f$ из $\text{Hol}(A)$, при котором $f(A) = 0$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей, $a \in \mathcal{A}$, $f \in \text{Hol}(a)$ и $g$ аналитична в окрестности $f(\sigma (a))$, то $g \circ f \in \text{Hol}(a)$ и $g(f(a)) = g \circ f(a)$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и $\mathcal{M} \le \mathcal{X}$ такое, что $(A - \alpha )^{-1} \mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}$ для всех $\alpha$ из $\rho (A)$, покажите, что $f(A) \mathcal{M} \subseteq \mathcal{M}$ всякий раз, когда $f \in \text{Hol}(A)$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство, $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и $f \in \text{Hol}(A)$, покажите, что $f(A)^* = f(A^*)$. (См. (6.1) ниже.)

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, $A \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$ и $f \in \text{Hol}(A)$, покажите, что $f(A)^* = \tilde{f}(A^*)$, где $\tilde{f}(z) = \overline{f(\bar{z})}$. (См. (6.1) ниже.)

Если $\mathcal{H}$ — гильбертово пространство, $A$ — нормальный оператор на $\mathcal{H}$ и $f \in \text{Hol}(A)$, покажите, что $f(A)$ нормален.

Пусть $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$. Покажите, что если $\sigma (A) = F_1 \cup F_2$, где $F_1, F_2$ — непересекающиеся замкнутые подмножества $\mathbb {C}$, то существуют топологически дополняемые подпространства $\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2$ пространства $\mathcal{X}$ такие, что

Пусть $A \in M_d(\mathbb {C})$, $\sigma (A) = \{ \alpha_1, \ldots , \alpha_n\}$, где $\alpha_i \ne \alpha_j$ при $i \ne j$. Покажите, что при $1 \le j \le n$ найдётся матрица $A_j$ в $M_{d_j}(\mathbb {C})$ такая, что $\sigma (A_j) = \{ \alpha_j\}$ и $A$ подобна $A_1 \oplus \cdots \oplus A_n$.

Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра, $I$ — идеал алгебры $\mathcal{A}$ (не обязательно замкнутый), $a \in I$ и $f \in \text{Hol}(a)$ такова, что $f(0) = 0$, покажите, что $f(a) \in I$.