Спектр линейного оператора

Докажите следующее предложение.

Покажите, что для банахова пространства $\mathcal{X}$ и $A$ из $\mathcal{B}(\mathcal{X})$, $\sigma_l(A) = \sigma_r(A^*)$, где $\sigma_l$ и $\sigma_r$ обозначают левый и правый спектры $A$. Что происходит в гильбертовом пространстве?

Если $\mathcal{H}$ — бесконечномерное гильбертово пространство и $K$ — непустое компактное подмножество $\mathbb {C}$, покажите, что существует $A$ в $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ такой, что $\sigma (A) = K$. Можно ли найти $A$ такой, что $\sigma (A) = \sigma_{ap}(A) = K$?

Пусть $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$. Существует ли оператор $A$ в $\mathcal{B}(C[0,1])$ такой, что $\sigma (A) = K$?

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, покажите, что $A$ обратим слева тогда и только тогда, когда $\ker A = (0)$ и $\text{ran}\, A$ — замкнутое дополняемое подпространство $\mathcal{X}$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, покажите, что $A$ обратим справа тогда и только тогда, когда $\text{ran}\, A = \mathcal{X}$ и $\ker A$ — дополняемое подпространство $\mathcal{X}$.

Если $\mathcal{X}$ — банахово пространство и $T: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ — изометрия, то либо $\sigma (T) \subseteq \partial \mathbb {D}$, либо $\sigma (T) = \text{cl}\, \mathbb {D}$.

Проверьте утверждения, сделанные в следующем примере. Пусть $\{ \alpha_n\} \in \ell^\infty$, $1 \le p \le \infty$, и определим $A: \ell^p \to \ell^p$ как $(Ax)(n) = \alpha_n x(n)$. Тогда $\sigma (A) = \text{cl}\{ \alpha_n\}$ и $\sigma_p(A) = \{ \alpha_n\}$. Для каждого $k$ определим $N_k = \left\{ n \in \mathbb {N} : \alpha_n = \alpha_k\right\}$ и определим $P_k: \ell^p \to \ell^p$ как $P_k x = \chi_{N_k} x$. Если $\alpha_k$ — изолированная точка $\sigma (A)$, то $\{ \alpha_k\}$ — открыто-замкнутое подмножество $\sigma (A)$ и $E(\{ \alpha_k\} ; A) = P_k$.

Пусть $1 \le p \le \infty$ и предположим, что $0 < \alpha_1 \le \alpha_2 \le \cdots$ такие, что $r = \lim \alpha_n < \infty$. Определим $A: \ell^p \to \ell^p$ как $A(x_1, x_2, \ldots ) = (0, \alpha_1 x_1, \alpha_2 x_2, \ldots )$. Покажите, что $\sigma (A) = \left\{ z \in \mathbb {C} : \left|z\right| \le r\right\}$ и $\sigma_{ap}(A) = \partial \sigma (A)$. Если $\left|\lambda \right| < r$, то $\text{ran}(A - \lambda )$ замкнуто и имеет коразмерность $1$. Кроме того, $\sigma_p(A) = \square$.

Проверьте утверждения, сделанные в следующем примере. Измеримая функция $k: [0,1] \times [0,1] \to \mathbb {C}$ называется ядром Вольтерры, если $k$ ограничена и $k(x, y) = 0$ при $x < y$. Если $1 \le p \le \infty$ и $k$ — ядро Вольтерры, определим $V_k: L^p(0,1) \to L^p(0,1)$ как

Тогда $V_k \in \mathcal{B}(L^p)$ и $\left\| V_k\right\| \le \left\| k\right\|_\infty$. Если $k, h$ — ядра Вольтерры и $(hk)(x, y) = \int_0^1 h(x, t) k(t, y) \, dt$, то $hk$ — ядро Вольтерры, $\left\| hk\right\|_\infty \le \left\| h\right\|_\infty \left\| k\right\|_\infty$ и $V_{hk} = V_h V_k$. Если $k$ — характеристическая функция множества $\left\{ (x,y) \in [0,1] \times [0,1] : y < x\right\}$, то $V_k$ — оператор Вольтерры. Если $k$ — произвольное ядро Вольтерры, то $\sigma (V_k) = \{ 0\}$.

Пусть $1 \le p \le \infty$ и $(X, \Omega , \mu )$ — $\sigma$-конечное пространство с мерой. Для $\phi$ из $L^\infty (\mu )$ определим $M_\phi$ на $L^p(\mu )$ как оператор умножения $M_\phi f = \phi f$. Найдите $\sigma (M_\phi )$, $\sigma_{ap}(M_\phi )$ и $\sigma_p(M_\phi )$.

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, $f \in \text{Hol}(A)$ и $\lambda \in \sigma_p(A)$, верно ли, что $f(\lambda ) \in \sigma_p(f(A))$? Если $\lambda \in \sigma_{ap}(A)$, верно ли, что $f(\lambda ) \in \sigma_{ap}(f(A))$? Существует ли связь между $f(\sigma_{ap}(A))$ и $\sigma_{ap}(f(A))$?

Если $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, будем говорить, что комплексное число $\lambda$ имеет конечный индекс, если существует положительное целое число $k$ такое, что $\ker (A - \lambda )^k = \ker (A - \lambda )^{k+1}$; индекс $\lambda$, обозначаемый $\nu (\lambda )$ или $\nu_A(\lambda )$, — наименьшее такое целое число $k$.

Если $V$ — оператор Вольтерры, покажите, что $0$ — существенно особая точка функции $(z - V)^{-1}$.

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей. Если $a \in \mathcal{A}$, определим $L_a, R_a \in \mathcal{B}(\mathcal{A})$ как $L_a(x) = ax$ и $R_a(x) = xa$. Покажите, что $\sigma (L_a) = \sigma (R_a) = \sigma (a)$.

Если $E$ — проектор на гильбертовом пространстве и $E$ не равен ни $0$, ни $1$, то $\sigma (E) = \{ 0, 1\}$.

(Маккейб) Если $\mathcal{X}$ — комплексное банахово пространство и $T \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$, покажите, что следующие утверждения эквивалентны.