Спектральная теория компактного оператора

Если $\mathcal{M}, \mathcal{N}$ — конечномерные пространства и $\mathcal{M} \le \mathcal{N}$, $\mathcal{M} \ne \mathcal{N}$, то найдётся $y$ из $\mathcal{N}$ такое, что $\left\| y\right\| = 1$ и $\text{dist}(y, \mathcal{M}) = 1$.

Пусть $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и $\lambda_1, \ldots , \lambda_n$ — различные точки из $\sigma_p(A)$. Если $x_k \in \ker (A - \lambda_k)$, $1 \le k \le n$, и $x_k \ne 0$, покажите, что $\{ x_1, \ldots , x_n\}$ — линейно независимое множество.

Пусть $\mathcal{X}_1, \mathcal{X}_2, \ldots$ — банаховы пространства и положим $\mathcal{X} = \bigoplus_p \mathcal{X}_n$. Пусть $A_n \in \mathcal{B}(\mathcal{X}_n)$ такие, что $\sup_n \left\| A_n\right\| < \infty$, и определим $A: \mathcal{X} \to \mathcal{X}$ как $A\{ x_n\} = \{ A_n x_n\}$. Покажите, что $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и $\left\| A\right\| = \sup_n \left\| A_n\right\|$. Покажите, что $A \in \mathcal{B}_0(\mathcal{X})$ тогда и только тогда, когда каждый $A_n \in \mathcal{B}_0(\mathcal{X})$ и $\lim \left\| A_n\right\| = 0$.

Предположим, что $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и существует многочлен $p$ такой, что $p(A) \in \mathcal{B}_0(\mathcal{X})$. Что можно сказать о $\sigma (A)$?

Предположим, что $A \in \mathcal{B}(\mathcal{X})$ и существует целая функция $f$ такая, что $f(A) \in \mathcal{B}_0(\mathcal{X})$. Что можно сказать о $\sigma (A)$?

В терминологии упражнения 6.13, если $A \in \mathcal{B}_0(\mathcal{X})$, $\lambda \in \sigma (A)$ и $\lambda \ne 0$, что можно сказать об индексе $\lambda$?