Коммутативные банаховы алгебры

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей и $J$ — наименьший замкнутый двусторонний идеал $\mathcal{A}$, содержащий $\{ xy - yx : x, y \in \mathcal{A}\}$; $J$ называется коммутаторным идеалом $\mathcal{A}$.

Используя терминологию упражнений 2.6 и 2.7, пусть $\mathcal{A}$ — абелева банахова алгебра без единицы, и покажите, что если $M$ — максимальный модулярный идеал, то существует гомоморфизм $h: \mathcal{A} \to \mathbb {C}$ такой, что $M = \ker h$. Обратно, если $h: \mathcal{A} \to \mathbb {C}$ — ненулевой гомоморфизм, то $\ker h$ — максимальный модулярный идеал. Более того, соответствие $h \to \ker h$ является биекцией между гомоморфизмами и максимальными модулярными идеалами.

Если $\mathcal{A}$ — абелева банахова алгебра и $h: \mathcal{A} \to \mathbb {C}$ — гомоморфизм, то $h$ непрерывен и $\left\| h\right\| \le 1$. Если $\mathcal{A}$ имеет приближённую единицу $\{ e_i\}$ такую, что $\left\| e_i\right\| \le 1$ для всех $i$, то $\left\| h\right\| = 1$ (см. упражнение 2.8).

Пусть $\mathcal{A}$ — абелева банахова алгебра и $\Sigma$ — множество ненулевых гомоморфизмов $\mathcal{A} \to \mathbb {C}$. Покажите, что $\Sigma$ локально компактно, если снабдить его относительной слабой-* топологией из $\mathcal{A}^*$ (упражнение 3).

С обозначениями упражнения 4 предположим, что $\mathcal{A}$ не имеет единицы, и пусть $\mathcal{A}_1$ — алгебра, полученная присоединением единицы. Для $a$ из $\mathcal{A}$ пусть $\sigma (a)$ — спектр $a$ как элемента $\mathcal{A}_1$, и покажите, что $\sigma (a) = \{ h(a) : h \in \Sigma \} \cup \{ 0\}$. Также покажите, что пространство максимальных идеалов $\mathcal{A}_1$, $\Sigma_1$, — одноточечная компактификация $\Sigma$.

С обозначениями упражнения 4, для каждого $a$ из $\mathcal{A}$ определим $\hat{a}: \Sigma \to \mathbb {C}$ как $\hat{a}(h) = h(a)$. Покажите, что $\hat{a} \in C_0(\Sigma )$ и отображение $a \mapsto \hat{a}$ из $\mathcal{A}$ в $C_0(\Sigma )$ является сжимающим гомоморфизмом с ядром $= \bigcap \{ M : M \text{ — максимальный модулярный идеал } \mathcal{A}\}$.

Если $X$ локально компактно, покажите, что $x \mapsto \delta_x$ — гомеоморфизм $X$ на пространство максимальных идеалов $C_0(X)$.

Пусть $X$ локально компактно и для каждого открытого подмножества $U$ пространства $X$ пусть $C_0(U) = \left\{ f \in C_0(X) : f(x) = 0 \text{ для } x \text{ из } X \setminus U\right\}$. Покажите, что $C_0(U)$ — замкнутый идеал $C_0(X)$ и что каждый замкнутый идеал $C_0(X)$ имеет такой вид. Более того, отображение $U \mapsto C_0(U)$ является изоморфизмом решётки открытых подмножеств $X$ на решётку идеалов $C_0(X)$.

С обозначениями предыдущего упражнения покажите, что $C_0(U)$ — модулярный идеал тогда и только тогда, когда $X \setminus U$ компактно.

Если $\mathcal{A}$ — абелева банахова алгебра и $a \in \mathcal{A}$, будем говорить, что $a$ — рациональная образующая $\mathcal{A}$, если $\{ f(a) : f \text{ — рациональная функция с полюсами вне } \sigma (a)\}$ плотно в $\mathcal{A}$. Покажите, что если $a$ — рациональная образующая $\mathcal{A}$, то $\Sigma$ гомеоморфно $\sigma (a)$.

Проверьте утверждения, сделанные в следующем примере. Если $V: L^2(0,1) \to L^2(0,1)$ — оператор Вольтерры и $\mathcal{A}$ — замыкание в $\mathcal{B}(L^2(0,1))$ множества $\{ p(V) : p \text{ — многочлен от } z\}$, то $\mathcal{A}$ — абелева банахова алгебра и $\text{rad}\, \mathcal{A} = \text{cl}\{ p(V) : p \text{ — многочлен от } z \text{ и } p(0) = 0\}$. Другими словами, $\mathcal{A}$ имеет единственный максимальный идеал, $\text{rad}\, \mathcal{A}$.

Будем говорить, что $a_1, \ldots , a_n$ — образующие $\mathcal{A}$, если $\mathcal{A}$ — наименьшая банахова алгебра с единицей, содержащая $\{ a_1, \ldots , a_n\}$. Покажите, что $a_1, \ldots , a_n$ являются образующими $\mathcal{A}$ тогда и только тогда, когда $\mathcal{A} = \text{cl}\{ p(a_1, \ldots , a_n) : p \text{ — многочлен от } n \text{ комплексных переменных } z_1, \ldots , z_n\}$, и если $\Sigma$ — пространство максимальных идеалов, то существует гомеоморфизм $\tau$ пространства $\Sigma$ на компактное подмножество $K$ пространства $\mathbb {C}^n$ такой, что если $p$ — многочлен от $n$ переменных, то $\gamma (p(a_1, \ldots , a_n)) = \tau^\# (p)$.

Проверьте утверждения, сделанные в следующем примере. Пусть $\mathcal{A}$ — замыкание в $C(\partial \mathbb {D})$ многочленов от $z$. Если $\Sigma$ — пространство максимальных идеалов $\mathcal{A}$, то $\Sigma$ гомеоморфно $\sigma_{\mathcal{A}}(z)$ (здесь $z$ — функция, значение которой в точке $\lambda$ из $\partial \mathbb {D}$ равно $\lambda$). При этом $\sigma_{\mathcal{A}}(z) = \text{cl}\, \mathbb {D}$. Если $f \in \mathcal{A}$, то теорема о максимуме модуля показывает, что $f$ имеет непрерывное продолжение на $\text{cl}\, \mathbb {D}$, аналитическое в $\mathbb {D}$; обозначим это продолжение также через $f$. Непрерывные гомоморфизмы на $\mathcal{A}$ имеют вид $f \mapsto f(\lambda )$ для некоторого $\lambda$ из $\text{cl}\, \mathbb {D}$.

(Желязко) Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра и предположим, что $\phi : \mathcal{A} \to \mathbb {C}$ — линейный функционал такой, что $\phi (a^2) = \phi (a)^2$ для всех $a$ из $\mathcal{A}$. Покажите, что $\phi$ — гомоморфизм.

Пусть $\mathcal{A}$ — абелева банахова алгебра с единицей, являющаяся полупростой [то есть $\text{rad}\, \mathcal{A} = (0)$]. Если $\left\| \cdot \right\|$ — норма на $\mathcal{A}$ и $\left\| \cdot \right\|_1$ — другая норма на $\mathcal{A}$, которая также превращает $\mathcal{A}$ в банахову алгебру, то эти две нормы эквивалентны.

Пусть $\mathcal{A}$ — замыкание в $C(\partial \mathbb {D})$ многочленов от $z$ и $K = \left\{ \phi \in \mathcal{A}^* : \phi (1) = \left\| \phi \right\| = 1\right\}$. Покажите, что $\text{ext}\, K = \left\{ \delta_z : \left|z\right| = 1\right\}$.

Покажите, что $f(x) = \exp (\pi i x)$ — образующая $C([0,1])$, но $g(x) = \exp (2\pi i x)$ — нет.

Покажите, что $C(\partial \mathbb {D})$ не имеет единственной образующей, хотя и имеет единственную рациональную образующую (то есть элемент $a$ такой, что $\{ r(a) : r \text{ — рациональная функция с полюсами вне } \sigma (a)\}$ плотен).