Групповая алгебра локально компактной абелевой группы

Докажите, что если $L^1(G)$ имеет единицу, то $G$ дискретна.

Если $f \in L^\infty (G)$, покажите, что $x \mapsto f_x$ — непрерывная функция из $G$ в $(L^\infty (G), \text{wk}^*)$, где $f_x(y) = f(x^{-1}y)$.

Существует ли мера $\mu$ на $\mathbb {R}$, отличная от меры Лебега, такая, что для $f$ из $L^1(\mu )$ отображение $x \mapsto f_x$ непрерывно? Существует ли мера, для которой это отображение разрывно?

Если $f \in C_0(G)$, покажите, что $x \mapsto f_x$ — непрерывное отображение из $G \to C_0(G)$.

Если $f \in L^\infty (G)$ и $f$ равномерно непрерывна на $G$, покажите, что $x \mapsto f_x$ — непрерывная функция из $G \to L^\infty (G)$. Верно ли обратное?

Если $K$ — компактное подмножество $G$, $\gamma_0 \in \Gamma$ и $\varepsilon > 0$, положим $U(K, \gamma_0, \varepsilon ) = \left\{ \gamma \in \Gamma : \left|\gamma (x) - \gamma_0(x)\right| < \varepsilon \text{ для всех } x \text{ из } K\right\}$. Покажите, что совокупность всех таких множеств образует базу топологии $\Gamma$. (Это означает, что топология на $\Gamma$ является компактно-открытой топологией.)

Покажите, что существует разрывный гомоморфизм $\gamma : \mathbb {R} \to \mathbb {T}$. Если $\gamma : \mathbb {R} \to \mathbb {T}$ — гомоморфизм, являющийся борелевской функцией, покажите, что $\gamma$ непрерывен.

Если $G$ — компактная абелева группа, покажите, что линейная оболочка $\Gamma$ плотна в $C(G)$.

Если $G$ — компактная абелева группа, покажите, что $\Gamma$ образует ортонормированный базис в $L^2(G)$.

Если $G$ — компактная абелева группа, покажите, что $G$ метризуема тогда и только тогда, когда $\Gamma$ счётна.

Пусть $\{ G_\alpha \}$ — семейство компактных абелевых групп и $G = \prod_\alpha G_\alpha$. Если $\Gamma_\alpha = \hat{G}_\alpha$, покажите, что группа характеров $G$ есть $\left\{ \{ \gamma_\alpha \} \in \prod_\alpha \Gamma_\alpha : \gamma_\alpha = e \text{ для всех } \alpha , \text{ кроме, быть может, конечного числа}\right\}$.