Зависимость спектра от алгебры

Если $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, пусть $P(K)$ — замыкание многочленов в $C(K)$. Покажите, что тождественное отображение на многочленах продолжается до изометрического изоморфизма $P(K)$ на $P(\hat{K})$.

Если $K$ — компактное подмножество $\mathbb {C}$, пусть $R(K)$ — замыкание в $C(K)$ всех рациональных функций с полюсами вне $K$. Если $f \in R(K)$, покажите, что $\sigma_{R(K)}(f) = f(K)$. Если $f \in P(K)$, покажите, что $\sigma_{P(K)}(f) = \hat{f}(\hat{K})$, где $\hat{f}$ — естественное продолжение $f$ на $\hat{K}$.

Пусть $\mathcal{A}$ и $\mathcal{B}$ — банаховы алгебры с общей единицей такие, что $\mathcal{B} \subseteq \mathcal{A}$ и $a \in \mathcal{B}$; напомним, что тогда $\sigma_{\mathcal{A}}(a) \subseteq \sigma_{\mathcal{B}}(a)$, а $\sigma_{\mathcal{A}}(a)$ и $\sigma_{\mathcal{B}}(a)$ имеют одну и ту же полиномиально выпуклую оболочку. Если $\sigma_{\mathcal{A}}(a) \subseteq \mathbb {R}$, покажите, что $\sigma_{\mathcal{B}}(a) = \sigma_{\mathcal{A}}(a)$.

Пусть $\mathcal{A}$ — банахова алгебра с единицей и $a \in \mathcal{A}$. Если $G_1, G_2, \ldots$ — дыры $\sigma_{\mathcal{A}}(a)$ и $1 \le n_1 \le n_2 \le \cdots$, покажите, что существует подалгебра $\mathcal{B}$ алгебры $\mathcal{A}$ такая, что $a \in \mathcal{B}$ и $\sigma_{\mathcal{B}}(a) = \sigma_{\mathcal{A}}(a) \cup \bigcup_{k=1}^\infty G_{n_k}$.

Если $\mathcal{A}, \mathcal{B}$ и $a$ такие же, как в упражнении 3 (при этом $\mathcal{A}$ не абелева, а $\mathcal{B}$ — максимальная абелева подалгебра $\mathcal{A}$), покажите, что $\sigma_{\mathcal{A}}(a) = \sigma_{\mathcal{B}}(a)$.

Если $K$ — непустое компактное подмножество $\mathbb {C}$, являющееся полиномиально выпуклым, покажите, что компоненты $\text{int}\, K$ односвязны.