Банк задач по математике

Задача VII.1.1

Пусть $\mathcal{A}$ — алгебра, являющаяся также банаховым пространством, такая, что если $a \in \mathcal{A}$ , отображения $x \mapsto ax$ и $x \mapsto xa$ из $\mathcal{A} \to \mathcal{A}$ непрерывны. Пусть $\mathcal{A}_1 = \mathcal{A} \times \mathbb {F}$ , как в предложении 1.3. Если $a \in \mathcal{A}$ , определим $L_a: \mathcal{A}_1 \to \mathcal{A}_1$ как $L_a(x, \xi ) = (ax + \xi a, 0)$ . Покажите, что $L_a \in \mathcal{B}(\mathcal{A}_1)$ и, если $\vertiii {a} = \left\| L_a\right\|$ , то $\vertiii {\cdot }$ эквивалентна норме на $\mathcal{A}$ , и $\mathcal{A}$ с $\vertiii {\cdot }$ является банаховой алгеброй.

?

Задача VII.1.2

Завершите доказательство следующего предложения. Если $\mathcal{A}$ — банахова алгебра без единицы, пусть $\mathcal{A}_1 = \mathcal{A} \times \mathbb {F}$ . Определим алгебраические операции на $\mathcal{A}_1$ как

\begin{align} (a, \alpha ) + (b, \beta ) & = (a + b, \alpha + \beta ); \\ \beta (a, \alpha ) & = (\beta a, \beta \alpha ); \\ (a, \alpha )(b, \beta ) & = (ab + \alpha b + \beta a, \alpha \beta ). \end{align}

Определим $\left\| (a, \alpha )\right\| = \left\| a\right\| + \left|\alpha \right|$ . Тогда $\mathcal{A}_1$ с этой нормой и алгебраическими операциями, определёнными выше, является банаховой алгеброй с единицей $(0, 1)$ , и $a \mapsto (a, 0)$ — изометрический изоморфизм $\mathcal{A}$ в $\mathcal{A}_1$ .

?

Задача VII.1.3

Проверьте утверждения, сделанные в примерах (1.4)--(1.9) и (1.11).

?

Задача VII.1.4

(a)(b)(c)(d)

Пусть $G$ — локально компактная группа.

?

(a)

Если $\phi \in C_c(G)$ и $\varepsilon > 0$ , покажите, что существует открытая окрестность $U$ единицы $e$ в $G$ такая, что $\left\| \phi_x - \phi_y\right\| < \varepsilon$ , если $xy^{-1} \in U$ . [Здесь $\phi_x(z) = \phi (xz)$ .]

(b)

Покажите, что если $f \in L^p(G)$ , $1 \le p < \infty$ , и $\varepsilon > 0$ , найдётся открытая окрестность $U$ единицы $e$ в $G$ такая, что $\left\| f_x - f_y\right\|_p < \varepsilon$ , если $xy^{-1} \in U$ .

(c)

Покажите, что если $f \in L^1(G)$ и $g \in L^\infty (G)$ , $h(x) = \int f(xy^{-1})g(y) \, dm(y)$ определяет ограниченную непрерывную функцию $h: G \to \mathbb {F}$ .

(d)

Если $f, g \in L^1(G)$ и $h$ определена как в (c), покажите, что $h \in L^1(G)$ .

Задача VII.1.5

Докажите следующее предложение. Если $\{ \mathcal{A}_i\}$ — совокупность банаховых алгебр, то $\bigoplus_0 \mathcal{A}_i$ и $\bigoplus_\infty \mathcal{A}_i$ являются банаховыми алгебрами, где $\bigoplus_0 \mathcal{A}_i \equiv \left\{ a \in \prod_i \mathcal{A}_i : \text{для всех } \varepsilon > 0, \{ i : \left\| a(i)\right\| \ge \varepsilon \} \text{ конечно}\right\}$ .

?

Задача VII.1.6

(a)(b)(c)

Пусть $\{ \mathcal{A}_i : i \in I\}$ — совокупность банаховых алгебр.

?

(a)

Покажите, что $\bigoplus_0 \mathcal{A}_i$ — замкнутый идеал $\bigoplus_\infty \mathcal{A}_i$ .

(b)

Покажите, что $\bigoplus_\infty \mathcal{A}_i$ имеет единицу тогда и только тогда, когда каждая $\mathcal{A}_i$ имеет единицу.

(c)

Покажите, что $\bigoplus_0 \mathcal{A}_i$ имеет единицу, если $I$ конечно и каждая $\mathcal{A}_i$ имеет единицу.

Задача VII.1.7

Если $X, Y$ вполне регулярны, покажите, что $C_b(X) \oplus_\infty C_b(Y)$ изометрически изоморфно $C_b(X \oplus Y)$ , где $X \oplus Y$ — дизъюнктное объединение $X$ и $Y$ .

?

Задача VII.1.8

Если $X$ и $Y$ локально компактны, покажите, что $C_0(X) \oplus_\infty C_0(Y)$ изометрически изоморфно $C_0(X \oplus Y)$ .

?

Задача VII.1.9

Пусть $\{ X_i : i \in I\}$ — совокупность локально компактных пространств и $X =$ дизъюнктное объединение этих пространств, снабжённое топологией $\left\{ U \subseteq X : U \cap X_i \text{ открыто в } X_i \text{ для всех } i\right\}$ . Покажите, что $X$ локально компактно и $\bigoplus_0 C_0(X_i)$ изометрически изоморфно $C_0(X)$ .

?

Элементарные свойства и примеры