ПРОДОЛЖЕНИЯ МЕР

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ обозначает пространство с мерой. Выберем $E \in \mathcal{A}$ и определим $\mathcal{A}_{E}=\left\{ F \in \mathcal{A}: F \subseteq E\right\}$. Тогда $\mathcal{A}_{E}$ является $\sigma$-алгеброй на $E$, $\mathcal{A}_{E}=\left\{ A \cap E: A \in \mathcal{A}\right\}$, и сужение $\mu_{E}$ меры $\mu$ [c $\mathcal{A}$] на $\mathcal{A}_{E}$ является мерой. То есть $\left(E, \mathcal{A}_{E}, \mu_{E}\right)$ является пространством с мерой, и $\mu_{E}=\mu$ на $\mathcal{A}_{E}$.

Докажите утверждения 1 и 2.

Утверждение 1. Примем обозначения определения. Если $\mu$ является $\sigma$-конечной на $\mathscr {G}$, то $v$ также является $\sigma$-конечной на $\mathscr {G}$.

Утверждение 2. Предположим, что $\varnothing \in \mathscr {G}$, и пусть $\mathscr {G} \subseteq \mathscr {H} \subseteq 2^{\Omega }$. Пусть $v: \mathscr {H} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает меру. Тогда сужение $v$ на $\mathscr {G}$ является мерой.

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ обозначает произвольное пространство с мерой. Определим $v$ на $2^{\Omega }$, полагая $v(B)=\inf \left\{ \mu (A): B \subseteq A, A \in \mathcal{A}\right\}$ для каждого $B \subseteq \Omega$. Тогда $v$ является внешней мерой.

Пусть $v: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является внешней мерой, и предположим дополнительно, что $v$ конечно аддитивна: $v(A \cup B)=v(A)+v(B)$, где $A, B \subseteq \Omega$ дизъюнктны. Тогда $v$ является мерой. То есть $\left(\Omega , 2^{\Omega }, v\right)$ является пространством с мерой.

Предположим, что $\varphi$ и $\xi$ являются внешними мерами [относительно некоторого общего фонового множества $\Omega$], и предположим, что мы определяем новую функцию $v: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ для всех $A \subseteq \Omega$, полагая $v(A)=\max \left\{ \varphi (A), \xi (A)\right\}$. Тогда $v$ является внешней мерой [относительно $\Omega$].

Пусть $v$ обозначает внешнюю меру, и пусть $A \subseteq \Omega$. Определим новую функцию множества $\nu_{A}$ на $2^{\Omega }$, полагая $\nu_{A}(B)=\nu (B \cap A)$ для каждого $B \subseteq \Omega$. Тогда $\nu_{A}$ является внешней мерой относительно $\Omega$.

Пусть $\left\{ v_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность внешних мер [относительно некоторого общего $\Omega$], и пусть $\left\{ a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность неотрицательных чисел. Для каждого $A \subseteq \Omega$ положим $v(A)=\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} \cdot v_{n}(A)$. Тогда $v$ является внешней мерой относительно $\Omega$.

Покажите непосредственно, что если $A, B \in \mathcal{M}(v)$, то $A \cup B, A \backslash B \in \mathcal{M}(v)$.

Предположим, что $\Omega$ можно записать как $\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}$, где $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — неубывающая последовательность подмножеств $\Omega$. Если $A \subseteq \Omega$ таково, что $A \cap A_{k} \in \mathcal{M}(v)$ для всех $k$, превышающих некоторую константу $k_{A}$, то $A \in \mathcal{M}(v)$.

Пусть $v$ обозначает внешнюю меру, такую что $v(\Omega )<+\infty$, и, кроме того, предположим, что если $A \subseteq \Omega$ с $v(A)<+\infty$, то существует $B \in \mathcal{M}(v)$, такое что $A \subseteq B$ и $v(A)=v(B)$. Тогда $E \in \mathcal{M}(v)$ тогда и только тогда, когда $v(\Omega )=v(E)+v\left(E^{c}\right)$.

Предположим, что $v$ — произвольная внешняя мера, и пусть $A, B \subseteq \Omega$ с $A \in \mathcal{M}(v)$. Покажите, что $v(A \cup B)+v(A \cap B)=v(A)+v(B)$.

Пусть $v$ обозначает внешнюю меру, и пусть $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает неубывающую последовательность $\mathcal{M}(v)$-множеств. Покажите, что $v\left(\lim \left(A \cap A_{n}\right)\right)=\lim v(A \cap A_{n})$ для любого $A \subseteq \Omega$. Сформулируйте и докажите аналогичный результат для невозрастающих последовательностей $\mathcal{M}(v)$-множеств.

Пусть $v$ обозначает внешнюю меру, для которой выполняется следующее: если $A \subseteq \Omega$ с $\nu (A)<+\infty$, то существует $B \in \mathcal{M}(\nu )$, такое что $A \subseteq B$ и $v(A)=v(B)$. Тогда для любой неубывающей последовательности $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ подмножеств $\Omega$ имеем $\nu \left(\lim A_{n}\right)=\lim \nu \left(A_{n}\right)$.

В каждом из следующих пунктов (i) опишите внешнюю меру $\mu^{*}$ на $2^{\Omega }$, порождённую данной $\mu$, (ii) опишите совокупность $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ и определите, является ли $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ $\sigma$-алгеброй, и (iii) проверьте, выполняется ли $\mu^{*}=\mu$ на данной совокупности $\mathcal{A}$.

Пусть $k \in \mathbb {N}$, и рассмотрим меру $\lambda_{k}: \mathscr {B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, которая ставит в соответствие каждому $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}] \in \mathcal{A}_{k}$ значение $\prod_{i=1}^{k}\left(b_{i}-a_{i}\right)$, как в примере этого параграфа. Для этой меры $\lambda_{k}$ имеет место следующее;

Эта задача повторяет теорему о продолжении.

Рассмотрим схему теоремы о продолжении. Если $\mu (A)<+\infty$ для каждого $A \in \mathcal{A}$, может оказаться не так, что продолжение меры $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}$ приписывает конечную меру каждому множеству из $\sigma (\mathscr {A})$. Однако если $\mu$ является $\sigma$-конечной на $\mathscr {A}$, то продолжение меры $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}$ является $\sigma$-конечным на $\sigma (\mathscr {A})$, а продолжение меры $\mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}$ является $\sigma$-конечным на $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$.

Существует мера $v: B \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ с $v(\mathbb {R})=1$ и

где интеграл — это обычный интеграл Римана из курса математического анализа.

Снова рассмотрим схему теоремы о продолжении.

Пусть $\mathcal{F}$ обозначает алгебру на $\Omega$, и пусть $\mu : \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает меру. Пусть $\mu^{*}: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ задана как

Тогда $\mu^{*}$ является внешней мерой, а сужение $\mu^{*}$ на $\sigma$-алгебру $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ является мерой. Из этих фактов следует, что $\mu^{*}=\mu$ на $\mathcal{F}$ и $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$. Наконец, существует продолжение меры $\mu$ до $\sigma (\mathcal{F})$.

Пусть $\mathcal{F}$ обозначает алгебру на $\Omega$. Предположим, что $v: \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что (i) $v(A) \geqslant 0$ для всех $A \in \mathcal{F}$, (ii) $v$ конечно аддитивна, и (iii) если $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — невозрастающая последовательность $\mathcal{F}$-множеств с $\lim A_{n}=\varnothing$, то $\lim \nu \left(A_{n}\right)=0$. Определим $\nu^{*}: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ для всех $A \subseteq \Omega$, полагая

Если $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ — конечные меры с областью определения $\sigma (\mathcal{P})$ (где $\mathcal{P}$ обозначает $\pi$-систему на $\Omega$), если $\Omega$ можно представить как не более чем счётное объединение $\mathscr {P}$-множеств, и если $\mu_{1}=\mu_{2}$ на $\mathscr {P}$, то $\mu_{1}=\mu_{2}$ на $\sigma (\mathscr {P})$.

Пусть $\mu_{1}$ и $\mu_{2}$ обозначают конечные меры с областью определения $\sigma (\mathcal{P})$, где $\mathcal{P}$ — $\pi$-система на $\Omega$, и, кроме того, предположим, что $\mu_{1}=\mu_{2}$ на $\mathcal{P}$. Тогда $\mu_{1}=\mu_{2}$.

Пусть $\Omega =\left\{ \omega_{1}, \omega_{2}, \omega_{3}, \omega_{4}\right\}$, пусть $\mathcal{A}$ состоит из $\varnothing ,\left\{ \omega_{1}, \omega_{2}\right\}$, $\left\{ \omega_{1}, \omega_{3}\right\} ,\left\{ \omega_{2}, \omega_{4}\right\} ,\left\{ \omega_{3}, \omega_{4}\right\}$ и $\Omega$, и пусть $\mu : \mathcal{A} \rightarrow \mathbb {R}$ определена следующим образом: $\mu (\Omega )=6, \mu (\varnothing )=0$, и $\mu \left(\left\{ \omega_{1}, \omega_{2}\right\} \right)=\mu \left(\left\{ \omega_{1}, \omega_{3}\right\} \right)=\mu \left(\left\{ \omega_{2}, \omega_{4}\right\} \right)=\mu \left(\left\{ \omega_{3}, \omega_{4}\right\} \right)=$ 3.

Пусть $\Omega =\mathbb {Q}$, и пусть $\mathcal{A}$ состоит из множеств $\left\{ \omega \in \mathbb {Q}: a<\omega \leqslant b\right\}$, где $a<b$ и $a, b \in \mathbb {Q}$. Также пусть $\varnothing \in \mathcal{A}$.

Мы принимаем условия упражнения 3.4.6. Цель этого упражнения — показать, что если $v$ — мера с областью определения $\sigma (\mathcal{F})$, такая что $v=\mu$ на алгебре $\mathcal{F}$, то $\nu$ совпадает с продолжением меры $\mu$ до $\sigma (\mathcal{F})$, гарантированным упражнением 3.4.6.

Решёткой на $\Omega$ называется совокупность $\mathscr {L} \subseteq 2^{\Omega }$, такая что (i) $\Omega \in \mathscr {L}$, (ii) $\varnothing \in \mathscr {L}$, (iii) $\mathscr {L}$ замкнута относительно (конечных) объединений, и (iv) $\mathscr {L}$ является $\pi$-системой. Также определим следующие две совокупности: $D=\left\{ B \backslash A: A, B \in \mathscr {L}, A \subseteq B\right\}$, и $\mathcal{U}$ обозначает совокупность всех конечных дизъюнктных объединений $\mathfrak {D}$-множеств.

Пусть $\mu$ и $v$ обозначают две $\sigma$-конечные меры с областью определения $\mathcal{B}^{k}$, такие что $\mu =v$ на подсовокупности открытых подмножеств $\mathbb {R}^{k}$.

Пусть $k \geqslant 2$, и пусть $\lambda_{k}: \mathscr {B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает единственную меру с областью определения $\mathscr {B}^{k}$, которая ставит в соответствие каждому $k$-мерному псо-прямоугольнику ($\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}$] значение $\prod_{i=1}^{k}\left(b_{i}-a_{i}\right)$. Пусть $A=\left\{ \boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}: x_{2}=\cdots =x_{k}=0\right\}$. Тогда $A \in \mathscr {B}^{k}$, $A$ несчётно, и $\lambda_{k}(A)=0$, следовательно, $\left|\overline{\mathscr {B}^{k}}\right|=2^{\text{c }}$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, v)$ обозначает пространство с мерой. Если $A, B \in \mathcal{F}$ с $A \subseteq E \subseteq B$ и $\nu (B \backslash A)=0$, то $E \in \overline{\mathcal{F}}$ и $\bar{\nu }(E)=\nu (A)=\nu (B)$.

Пусть ($\Omega , \mathcal{F}, v$) обозначает пространство с мерой. Далее, пусть $\mathcal{F}_{1}$ обозначает под-$\sigma$-алгебру $\mathcal{F}^{1}$. Тогда существует минимальная $\sigma$-алгебра $\mathcal{F}_{2}$, такая что $\mathcal{F}_{1} \subseteq \mathcal{F}_{2} \subseteq \mathcal{F}$ и $\mathcal{N}(v) \subseteq \mathcal{F}_{2}$. Также $A \in \mathcal{F}_{2}$ тогда и только тогда, когда существует $B \in \mathcal{F}_{1}$ с $A \Delta B \in \mathcal{N}(v)$.

Пусть $\Omega$ несчётно, пусть $\mathcal{A}$ обозначает $\sigma$-алгебру $\left\{ A \subseteq \Omega : A \text{ не более чем счётно (amc) или } A^{c} \text{ не более чем счётно (amc)}\right\}$, и определим $\mu : \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, положив, что $\mu (A)$ обозначает число точек в $A$, если $A$ конечно, и $\mu (A)=+\infty$, если $A$ бесконечно.

Предположение $v(B)=+\infty$ не является избыточным в утверждении 4, и предположение $v(A)<+\infty$ не является избыточным в утверждении 6.

Пусть $v: \mathscr {B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ неотрицательна и конечно аддитивна с $v\left(\mathbb {R}^{k}\right)<+\infty$. Предположим, что v(A)=\sup \left\{ v(K): K \subseteq A, K компактно\right\} для каждого $A \in \mathscr {B}^{k}$. Тогда $v$ является конечной мерой.

Пусть $v: \mathcal{B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ — мера, такая что $v(B)<+\infty$ для каждого ограниченного $B \in \mathcal{B}^{k}$. Пусть $A \subseteq \mathbb {R}^{k}$, где $A$ не обязательно принадлежит $\mathcal{B}^{k}$. Существуют множества $F$ и $G$, такие что $F \subseteq A \subseteq G$, $F$ является счётным объединением замкнутых множеств, а $G$ является счётным пересечением открытых множеств, и $v(G-F)=0$.

Предположим, что $v: \mathcal{B}^{k} \rightarrow \mathbb {R}^{k}$ — конечная мера, такая что если $A \in \mathcal{B}^{k}$ и $v(A)>0$, то существует $B \in \mathcal{B}^{k}$ с $B \subseteq A$ и $0<v(B)<v(A)$. Тогда существует несчётное компактное множество $K$, такое что $K \subseteq A$ и $v(K)=0$.

Пусть $\mathcal{A}$ обозначает алгебру на $\Omega$, и пусть $\mu$ и $v$ обозначают меры с областью определения $\sigma (\mathcal{A})$, являющиеся $\sigma$-конечными на $\mathcal{A}$. Пусть $E \in \sigma (\mathcal{A})$ таково, что $\mu (E), v(E)<+\infty$, и пусть дано $\varepsilon >0$. Тогда существует $E_{0} \in \mathcal{A}$, такое что $\mu \left(E \triangle E_{0}\right), v\left(E \triangle E_{0}\right)<\varepsilon$.

Счётная полуаддитивность снизу: если $A_{1}, A_{2}, \ldots \subseteq \Omega$ дизъюнктны, то $\mu_{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}\right) \geqslant \sum_{n=1}^{\infty } \mu_{*}\left(A_{n}\right)$.

Для любого $A \subseteq \Omega$, $\mu^{*}(A)=\inf \left\{ \mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}(B): A \subseteq B \in \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)\right\} =\mu^{* *}(A)$.

Для любого $A \subseteq \Omega$, $\mu_{*}(A)=\sup \left\{ \mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}(B): B \subseteq A, B \in \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)\right\}$.

Для любого $A \subseteq \Omega$ существует $E \in \sigma (\mathcal{A})$, такое что $E \subseteq A$ и $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}(E)=\mu_{*}(A)$.

Инфимум, определяющий $\mu^{*}(A)$, и супремум, определяющий $\mu_{*}(A)$, достигаются для каждого $A \subseteq \Omega$. То есть существуют $C, B \in \sigma (\mathcal{A})$ с $C \subseteq A \subseteq B$ и $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}(C)=\mu_{*}(A)$ и $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}(B)=\mu^{*}(A)$.

Пусть $A \subseteq \Omega$, и пусть $\left\{ A_{n}\right\}$ обозначает дизъюнктную последовательность $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$-множеств. Тогда имеем $\mu_{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty }\left(A \cap A_{n}\right)\right)=\sum_{n=1}^{\infty } \mu_{*}\left(A_{n} \cap A\right)$.

Если $A, B \subseteq \Omega$ дизъюнктны, то $\mu_{*}(A \cup B) \leqslant \mu_{*}(A)+ \mu^{*}(B) \leqslant \mu^{*}(A \cup B)$.

Если $A \in \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ и $B \subseteq \Omega$, то $\mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}(A)=\mu_{*}(B \cap A)+\mu^{*}\left(B^{c} \cap A\right)$.

Пусть $\Omega =(0,1] \times (0,1]$, и пусть $\mathcal{F}=\left\{ B \times (0,1]: B \in \mathcal{B}, B \subseteq (0,1]\right\}$. Определим $\mu : \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, потребовав, чтобы $\mu (B \times (0,1])=v(B)$ при всех $B \in \mathcal{B}$ и $B \subseteq (0,1]$, где $v$ — единственная мера на $\left\{ B \in \mathcal{B}: B \subseteq (0,1]\right\}$, приписывающая меру $b-a$ каждому $(a, b] \subseteq (0,1]$.

Существенна ли гипотеза конечности в пункте (b) утверждения 3?

Пусть $\mu : \mathcal{B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ — мера, приписывающая конечную меру всем ограниченным $\mathcal{B}^{k}$-множествам. Не существует такого $F: \mathbb {R}^{k} \rightarrow \mathbb {R}$, что $F \notin \mathfrak {S}_{k}$ и $\mu =\Delta_{F}$ на $\mathcal{A}_{k}$.

Пусть $\mu : \mathcal{B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ — мера такая, что $\mu \left(\mathbb {R}^{k}\right)=1$. Существует единственная $F \in \mathfrak {S}_{k}$, одновременно обладающая следующими свойствами:

1. $\lim_{\boldsymbol {x} \rightarrow -\infty } F(\boldsymbol {x})=0$,

2. $\lim_{\boldsymbol {x} \rightarrow +\infty } F(\boldsymbol {x})=1$, и

3. $\mu$ является единственным продолжением-мерой $\Delta_{F}$ с $\mathcal{A}_{k}$ на $\mathcal{B}^{k}$.

Существует множество $B \subseteq \mathbb {R}$, не принадлежащее $\mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$ ни для какой непрерывной $F \in \mathfrak {S}$. Следуйте данному плану.