Теорема о пополнении

Пусть $k \geqslant 2$, и пусть $\lambda_{k}: \mathscr {B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает единственную меру с областью определения $\mathscr {B}^{k}$, которая ставит в соответствие каждому $k$-мерному псо-прямоугольнику ($\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}$] значение $\prod_{i=1}^{k}\left(b_{i}-a_{i}\right)$. Пусть $A=\left\{ \boldsymbol {x} \in \mathbb {R}^{k}: x_{2}=\cdots =x_{k}=0\right\}$. Тогда $A \in \mathscr {B}^{k}$, $A$ несчётно, и $\lambda_{k}(A)=0$, следовательно, $\left|\overline{\mathscr {B}^{k}}\right|=2^{\text{c }}$.

Пусть $(\Omega , \mathcal{F}, v)$ обозначает пространство с мерой. Если $A, B \in \mathcal{F}$ с $A \subseteq E \subseteq B$ и $\nu (B \backslash A)=0$, то $E \in \overline{\mathcal{F}}$ и $\bar{\nu }(E)=\nu (A)=\nu (B)$.

Пусть ($\Omega , \mathcal{F}, v$) обозначает пространство с мерой. Далее, пусть $\mathcal{F}_{1}$ обозначает под-$\sigma$-алгебру $\mathcal{F}^{1}$. Тогда существует минимальная $\sigma$-алгебра $\mathcal{F}_{2}$, такая что $\mathcal{F}_{1} \subseteq \mathcal{F}_{2} \subseteq \mathcal{F}$ и $\mathcal{N}(v) \subseteq \mathcal{F}_{2}$. Также $A \in \mathcal{F}_{2}$ тогда и только тогда, когда существует $B \in \mathcal{F}_{1}$ с $A \Delta B \in \mathcal{N}(v)$.