Теорема о соответствии

Мощность семейства несчётных замкнутых подмножеств $\mathbb {R}$ равна $\mathrm{c}$.

Пусть $\omega$ обозначает наименьшее несчётное порядковое число. Из (a) можно образовать вполне упорядоченное множество $\left\{ F_{\eta }: \eta \prec \omega \right\}$ несчётных замкнутых подмножеств $\mathbb {R}$.

Пусть $x_{0}$ и $y_{0}$ обозначают две различные точки $F_{0}$. Заметим, что $A_{1}=\left\{ x_{0}, y_{0}\right\}$ имеет мощность меньше $\mathrm{c}$, следовательно $\operatorname {card}\left(F_{1}-A_{1}\right)=\mathrm{c}$. Поэтому мы можем выбрать различные $x_{1}$ и $y_{1}$ из $F_{1}-A_{1}$. Заметим, что $A_{2}=\left\{ x_{0}, y_{0}, x_{1}, y_{1}\right\}$ имеет мощность меньше $\mathrm{c}$, следовательно $\operatorname {card}\left(F_{2}-A_{2}\right)=\mathrm{c}$. Выберем две различные точки $x_{2}, y_{2} \in F_{2}-A_{2}$, и продолжим. Применим следующую схему трансфинитной рекурсии: пусть $\eta \prec \omega$ обозначает бесконечное порядковое число, и предположим, что $x_{\gamma }$ и $y_{\gamma }$ определены для всех $\gamma \prec \eta$. Множество $A_{\eta }=\left\{ x_{\gamma }: \gamma \prec \eta \right\} \cup \left\{ y_{\gamma }: \gamma \prec \eta \right\}$ имеет мощность меньше $\mathrm{c}$ [докажите!], и, таким образом, $\operatorname {card}\left(F_{\eta }-A_{\eta }\right)=\mathrm{c}$, следовательно мы можем выбрать различные $x_{\eta }, y_{\eta } \in F_{\eta }-A_{\eta }$. Пусть $B=\left\{ x_{\eta }: \eta \prec \omega \right\}$. Тогда $B \cap F_{\eta }$ и $B^{c} \cap F_{\eta }$ непусты для каждого $\eta \prec \omega$.

Пусть $F \in \mathfrak {S}$ непрерывна и непостоянна. Тогда $\Delta_{F}(A)>0$ для некоторого $A=(a, b]$.

Пусть $F \in \mathfrak {S}$ непрерывна и непостоянна, так что $\Delta_{F}$ и $\Delta_{F}^{*}$ нетривиальны [то есть не тождественно равны нулю]. Если $B \in \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$, то

где $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}$ — сужение внешней меры $\Delta_{F}^{*}$ на $\mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$.

Учитывая, как было определено $B$, единственные компактные подмножества $B$ являются amc (конечными или счётными).

Для каждого $x \in \mathbb {R}$, $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}\left(\left\{ x\right\} \right)=0$. [$F$, разумеется, непрерывна в этом и во всех последующих пунктах.]

По (e)-(g), $\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}(B)=0$.

$\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}\left(B^{c}\right)=0$.

Результаты (h) и (i) вынуждают $F$ быть постоянной, откуда следует противоречие. Заключите, что $B \notin \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)$ ни для какой непрерывной непостоянной $F \in \mathfrak {S}$.

Существует нумерация $\left\{ C_{\eta }: \eta \prec \omega \right\}$ семейства нигде не плотных замкнутых подмножеств $[0,1]$, где $\omega$ снова обозначает наименьшее несчётное порядковое число.

Примените схему трансфинитной рекурсии, чтобы получить множество $\left\{ x_{\eta }: \eta \prec \omega \right\}$ следующим образом: пусть $x_{0} \in [0,1]-C_{0}$; предположим, что для каждого $\eta \prec \omega$ число $x_{\gamma }$ определено для каждого $\gamma \prec \eta$. Выберем $x_{\eta } \in [0,1]-\bigcup_{\gamma \prec \eta }\left(C_{\gamma } \cup \left\{ x_{\gamma }\right\} \right)$. Данное построение требует (AC). [Где именно?]

Пусть $S=\left\{ x_{\eta }: \eta \prec \omega \right\}$. Тогда (CH) вынуждает $\operatorname {card}(S)=\mathrm{c}$.

Для каждого $\eta \prec \omega$ имеем, что $S \cap C_{\eta }$ является amc.

$\Delta_{F, \mathcal{M}\left(\Delta_{F}^{*}\right)}^{*}(S)=0$ для каждой непрерывной $F \in \mathfrak {S}$.