Продолжения и сужения

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ обозначает пространство с мерой. Выберем $E \in \mathcal{A}$ и определим $\mathcal{A}_{E}=\left\{ F \in \mathcal{A}: F \subseteq E\right\}$. Тогда $\mathcal{A}_{E}$ является $\sigma$-алгеброй на $E$, $\mathcal{A}_{E}=\left\{ A \cap E: A \in \mathcal{A}\right\}$, и сужение $\mu_{E}$ меры $\mu$ [c $\mathcal{A}$] на $\mathcal{A}_{E}$ является мерой. То есть $\left(E, \mathcal{A}_{E}, \mu_{E}\right)$ является пространством с мерой, и $\mu_{E}=\mu$ на $\mathcal{A}_{E}$.

Докажите утверждения 1 и 2.

Утверждение 1. Примем обозначения определения. Если $\mu$ является $\sigma$-конечной на $\mathscr {G}$, то $v$ также является $\sigma$-конечной на $\mathscr {G}$.

Утверждение 2. Предположим, что $\varnothing \in \mathscr {G}$, и пусть $\mathscr {G} \subseteq \mathscr {H} \subseteq 2^{\Omega }$. Пусть $v: \mathscr {H} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает меру. Тогда сужение $v$ на $\mathscr {G}$ является мерой.