Дальнейшее описание $\mathcal{M}\brackets{\mu^{*}}$

Счётная полуаддитивность снизу: если $A_{1}, A_{2}, \ldots \subseteq \Omega$ дизъюнктны, то $\mu_{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty } A_{n}\right) \geqslant \sum_{n=1}^{\infty } \mu_{*}\left(A_{n}\right)$.

Для любого $A \subseteq \Omega$, $\mu^{*}(A)=\inf \left\{ \mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}(B): A \subseteq B \in \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)\right\} =\mu^{* *}(A)$.

Для любого $A \subseteq \Omega$, $\mu_{*}(A)=\sup \left\{ \mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}(B): B \subseteq A, B \in \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)\right\}$.

Для любого $A \subseteq \Omega$ существует $E \in \sigma (\mathcal{A})$, такое что $E \subseteq A$ и $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}(E)=\mu_{*}(A)$.

Инфимум, определяющий $\mu^{*}(A)$, и супремум, определяющий $\mu_{*}(A)$, достигаются для каждого $A \subseteq \Omega$. То есть существуют $C, B \in \sigma (\mathcal{A})$ с $C \subseteq A \subseteq B$ и $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}(C)=\mu_{*}(A)$ и $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}(B)=\mu^{*}(A)$.

Пусть $A \subseteq \Omega$, и пусть $\left\{ A_{n}\right\}$ обозначает дизъюнктную последовательность $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$-множеств. Тогда имеем $\mu_{*}\left(\bigcup_{n=1}^{\infty }\left(A \cap A_{n}\right)\right)=\sum_{n=1}^{\infty } \mu_{*}\left(A_{n} \cap A\right)$.

Если $A, B \subseteq \Omega$ дизъюнктны, то $\mu_{*}(A \cup B) \leqslant \mu_{*}(A)+ \mu^{*}(B) \leqslant \mu^{*}(A \cup B)$.

Если $A \in \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ и $B \subseteq \Omega$, то $\mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}(A)=\mu_{*}(B \cap A)+\mu^{*}\left(B^{c} \cap A\right)$.

Пусть $\Omega =(0,1] \times (0,1]$, и пусть $\mathcal{F}=\left\{ B \times (0,1]: B \in \mathcal{B}, B \subseteq (0,1]\right\}$. Определим $\mu : \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, потребовав, чтобы $\mu (B \times (0,1])=v(B)$ при всех $B \in \mathcal{B}$ и $B \subseteq (0,1]$, где $v$ — единственная мера на $\left\{ B \in \mathcal{B}: B \subseteq (0,1]\right\}$, приписывающая меру $b-a$ каждому $(a, b] \subseteq (0,1]$.

Существенна ли гипотеза конечности в пункте (b) утверждения 3?