Внешние меры

Пусть $(\Omega , \mathcal{A}, \mu )$ обозначает произвольное пространство с мерой. Определим $v$ на $2^{\Omega }$, полагая $v(B)=\inf \left\{ \mu (A): B \subseteq A, A \in \mathcal{A}\right\}$ для каждого $B \subseteq \Omega$. Тогда $v$ является внешней мерой.

Пусть $v: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ является внешней мерой, и предположим дополнительно, что $v$ конечно аддитивна: $v(A \cup B)=v(A)+v(B)$, где $A, B \subseteq \Omega$ дизъюнктны. Тогда $v$ является мерой. То есть $\left(\Omega , 2^{\Omega }, v\right)$ является пространством с мерой.

Предположим, что $\varphi$ и $\xi$ являются внешними мерами [относительно некоторого общего фонового множества $\Omega$], и предположим, что мы определяем новую функцию $v: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ для всех $A \subseteq \Omega$, полагая $v(A)=\max \left\{ \varphi (A), \xi (A)\right\}$. Тогда $v$ является внешней мерой [относительно $\Omega$].

Пусть $v$ обозначает внешнюю меру, и пусть $A \subseteq \Omega$. Определим новую функцию множества $\nu_{A}$ на $2^{\Omega }$, полагая $\nu_{A}(B)=\nu (B \cap A)$ для каждого $B \subseteq \Omega$. Тогда $\nu_{A}$ является внешней мерой относительно $\Omega$.

Пусть $\left\{ v_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность внешних мер [относительно некоторого общего $\Omega$], и пусть $\left\{ a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ обозначает последовательность неотрицательных чисел. Для каждого $A \subseteq \Omega$ положим $v(A)=\sum_{n=1}^{\infty } a_{n} \cdot v_{n}(A)$. Тогда $v$ является внешней мерой относительно $\Omega$.