Единственность мер и продолжений

$\mathcal{A}$ не является ни $\pi$-системой, ни полукольцом, и $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$.

$\mu$ является мерой.

Определим две новые различные меры $v$ и $\xi$ на $\sigma$-алгебре $2^{\Omega }$ следующим образом: $v\left(\left\{ \omega_{1}\right\} \right)=v\left(\left\{ \omega_{4}\right\} \right)=1, v\left(\left\{ \omega_{2}\right\} \right)=v\left(\left\{ \omega_{3}\right\} \right)=2, \xi \left(\left\{ \omega_{2}\right\} \right)=\xi \left(\left\{ \omega_{3}\right\} \right)=1$, и $\xi \left(\left\{ \omega_{1}\right\} \right)=\xi \left(\left\{ \omega_{4}\right\} \right)=2$. Тогда $v$ и $\xi$ — различные продолжения меры $\mu$ с $\mathcal{A}$ на $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$.

Пусть $\mu^{*}: 2^{\Omega } \rightarrow \mathbb {R}$ обозначает внешнюю меру, порождённую $\mu$. Тогда $\mu^{*}=\mu$ на $\mathcal{A}$, и $\mu^{*}$ является мерой.

$\mu^{*}, v$ и $\xi$ — различные меры.

$\mathcal{A}$ является полукольцом, и $\sigma (\mathcal{A})=2^{\Omega }$.

Определим $\mu : \mathcal{A} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, положив, что $\mu (A)$ равно числу точек в $A$, если $A$ конечно, и $\mu (A)=+\infty$, если $A$ бесконечно. Тогда $\mu (A)=+\infty$ для всех $A \in \mathcal{A}-\left\{ \varnothing \right\}$, следовательно, $\mu$ не является $\sigma$-конечной на $\mathcal{A}$.

Определим $v: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, полагая, что $v(A)$ равно числу точек в $A$, если $A$ конечно, и $v(A)=+\infty$, если $A$ бесконечно. Далее определим $\xi$, положив $\xi (A)=2 v(A)$ для всех $A \subseteq \Omega$. Тогда $v$ и $\xi$ — различные $\sigma$-конечные продолжения меры $\mu$ с $\mathcal{A}$ на $\sigma (\mathcal{A})$. Следовательно, когда $\mu$ не является $\sigma$-конечной на $\mathcal{A}$, может существовать более одного продолжения меры $\mu$ с $\mathcal{A}$ на $\sigma (\mathcal{A})$.

Внешняя мера $\mu^{*}: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$, порождённая $\mu$, такова, что $\mu^{*}(A)=+\infty$ для любого непустого $A \subseteq \Omega$, и $\mu^{*}$ является не-$\sigma$-конечной мерой. Следовательно, хотя у нас есть два различных $\sigma$-конечных продолжения меры $\mu$ до $\sigma (\mathcal{A})$, у нас также есть не-$\sigma$-конечное продолжение $\mu$ до $\sigma (\mathcal{A})$.

$\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)=2^{\Omega }=\sigma (\mathcal{A})$.

Если $B \in \sigma (\mathcal{F})$, то $\nu (B) \leqslant \mu^{*}(B)$.

Если $F \in \sigma (\mathcal{F})$ и $\mu^{*}(F)<+\infty$, то $\nu (F)=\mu^{*}(F)$.

Если $\mu$ является $\sigma$-конечной на $\mathcal{F}$, то $\nu (E)=\mu^{*}(E)$ для всех $E \in \sigma (\mathcal{F})$. Это даёт единственность продолжения меры, существование которого гарантировано упражнением 3.4.6.

$\mathscr {D}$ является $\pi$-системой.

$U$ является $\pi$-системой.

$U$ замкнуто относительно дополнения.

$U$ совпадает с минимальной алгеброй, содержащей решётку $\mathscr {L}$.

Пусть $\mathcal{A}$ обозначает $\sigma$-алгебру на $\Omega$, содержащую $\mathscr {L}$. Предположим, что $\mu$ и $v$ — меры с областью определения $\mathcal{A}$, такие что $\mu =\nu$ на $\mathscr {L}$. Далее, предположим, что $\Omega =\cup A_{n}$, где $A_{n} \in \mathscr {L}$ и $\mu \left(A_{n}\right)<+\infty$ для каждого $n \in \mathbb {N}$. Тогда $\mu =v$ на $\sigma (\mathscr {L})$.

Покажите, что $\mu =v$, обратившись к теореме единственности.

Покажите, что $\mu =v$, альтернативно обратившись к упражнению 3.5.6.

Повторите пункты (a) и (b), заменив слово «открытых» на «замкнутых».

Повторите пункты (a) и (b), заменив слово «открытых» на «компактных».