Банк задач по математике

Задача 3.4.1

(a)(b)(c)(d)

Пусть $k \in \mathbb {N}$ , и рассмотрим меру $\lambda_{k}: \mathscr {B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ , которая ставит в соответствие каждому $(\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}] \in \mathcal{A}_{k}$ значение $\prod_{i=1}^{k}\left(b_{i}-a_{i}\right)$ , как в примере этого параграфа. Для этой меры $\lambda_{k}$ имеет место следующее;

?

(a)

$\lambda_{k}((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}])=\lambda_{k}((\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}))=\lambda_{k}([\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}))=\lambda_{k}(\left[\boldsymbol {a}, \boldsymbol {b}\right])=\prod_{i=1}^{k}\left(b_{i}-a_{i}\right)$ .

(b)

$\lambda_{k}$ , применённая к любому $k$ -мерному прямоугольнику, который содержит $k$ -мерное открытое множество и неограничен хотя бы по одному измерению, даёт $+\infty$ .

(c)

$\lambda_{k}$ , применённая к любому ограниченному $\mathscr {B}^{k}$ -множеству, даёт конечное число.

(d)

Можно было бы подумать, что если $A \subseteq B$ , где $B \in \mathscr {B}^{k}$ и $\lambda_{k}(B)=0$ , то $\lambda_{k}(A)$ обязательно существует и равна 0. Покажите, что если существует несчётное множество $C \in \mathscr {B}^{k}$ с $\lambda_{k}(C)=0$ , то $\lambda_{k}(A)$ может даже не существовать, не говоря уже о равенстве нулю, и, таким образом, $\lambda_{k}$ противоречит нашей интуиции в этом отношении.

Задача 3.4.2

(a)(b)

Эта задача повторяет теорему о продолжении.

?

(a)

Где и как используется тот факт, что $\mu (\varnothing )=0$ ?

(b)

Что происходит, если $\mathcal{A}=2^{\Omega }$ ?

Задача 3.4.3

Рассмотрим схему теоремы о продолжении. Если $\mu (A)<+\infty$ для каждого $A \in \mathcal{A}$ , может оказаться не так, что продолжение меры $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}$ приписывает конечную меру каждому множеству из $\sigma (\mathscr {A})$ . Однако если $\mu$ является $\sigma$ -конечной на $\mathscr {A}$ , то продолжение меры $\mu_{\sigma (\mathscr {A})}^{*}$ является $\sigma$ -конечным на $\sigma (\mathscr {A})$ , а продолжение меры $\mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}$ является $\sigma$ -конечным на $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ .

?

Задача 3.4.4

Существует мера $v: B \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ с $v(\mathbb {R})=1$ и

v(a, b]=\int _{a}^{b}(2 \pi )^{-1 / 2} e^{-z^{2} / 2} \mathrm{~ d} z

где интеграл — это обычный интеграл Римана из курса математического анализа.

?

Задача 3.4.5

(a)(b)

Снова рассмотрим схему теоремы о продолжении.

?

(a)

Если $A \subseteq B \subseteq \Omega$ с $B \in \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ и $\mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}(B)=0$ , то $A \in \mathcal{M}\left(v^{*}\right)$ и $\mu_{\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)}^{*}(A)=0$ .

(b)

Если в пункте (a) заменить каждое вхождение $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ [включая случаи, где оно встречается в качестве нижнего индекса] на $\sigma (\mathscr {A})$ , то утверждение не обязательно верно.

Задача 3.4.6

Пусть $\mathcal{F}$ обозначает алгебру на $\Omega$ , и пусть $\mu : \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ обозначает меру. Пусть $\mu^{*}: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ задана как

\mu ^{*}(A)=\inf \left\{ \sum _{n=1}^{\infty } \mu \left(A_{n}\right):\left\{ A_{n}\right\} \text{ является } \mathcal{F} \text{-покрытием } A\right\} , \quad A \subseteq \Omega

Тогда $\mu^{*}$ является внешней мерой, а сужение $\mu^{*}$ на $\sigma$ -алгебру $\mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ является мерой. Из этих фактов следует, что $\mu^{*}=\mu$ на $\mathcal{F}$ и $\mathcal{F} \subseteq \mathcal{M}\left(\mu^{*}\right)$ . Наконец, существует продолжение меры $\mu$ до $\sigma (\mathcal{F})$ .

?

Задача 3.4.7

Пусть $\mathcal{F}$ обозначает алгебру на $\Omega$ . Предположим, что $v: \mathcal{F} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ такова, что (i) $v(A) \geqslant 0$ для всех $A \in \mathcal{F}$ , (ii) $v$ конечно аддитивна, и (iii) если $\left\{ A_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }$ — невозрастающая последовательность $\mathcal{F}$ -множеств с $\lim A_{n}=\varnothing$ , то $\lim \nu \left(A_{n}\right)=0$ . Определим $\nu^{*}: 2^{\Omega } \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ для всех $A \subseteq \Omega$ , полагая

v^{*}(A)=\inf \left\{ \sum _{n=1}^{\infty } v\left(A_{n}\right):\left\{ A_{n}\right\} _{n=1}^{\infty } \text{ является } \mathcal{F} \text{-покрытием } A\right\} .

?

(a)

$\nu^{*}$ является внешней мерой.

(b)

$\mathcal{M}\left(v^{*}\right)$ является $\sigma$ -алгеброй на $\Omega$ .

(c)

Сужение $v^{*}$ на $\mathcal{M}\left(v^{*}\right)$ является мерой на $\mathcal{M}\left(v^{*}\right)$ .

(d)

$\mathcal{F} \subseteq \mathcal{M}\left(v^{*}\right)$ .

(e)

Существует продолжение меры $v$ до $\sigma (\mathcal{F})$ .

Существование продолжений