Приближения

Предположение $v(B)=+\infty$ не является избыточным в утверждении 4, и предположение $v(A)<+\infty$ не является избыточным в утверждении 6.

Пусть $v: \mathscr {B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ неотрицательна и конечно аддитивна с $v\left(\mathbb {R}^{k}\right)<+\infty$. Предположим, что v(A)=\sup \left\{ v(K): K \subseteq A, K компактно\right\} для каждого $A \in \mathscr {B}^{k}$. Тогда $v$ является конечной мерой.

Пусть $v: \mathcal{B}^{k} \rightarrow \overline{\mathbb {R}}$ — мера, такая что $v(B)<+\infty$ для каждого ограниченного $B \in \mathcal{B}^{k}$. Пусть $A \subseteq \mathbb {R}^{k}$, где $A$ не обязательно принадлежит $\mathcal{B}^{k}$. Существуют множества $F$ и $G$, такие что $F \subseteq A \subseteq G$, $F$ является счётным объединением замкнутых множеств, а $G$ является счётным пересечением открытых множеств, и $v(G-F)=0$.

Предположим, что $v: \mathcal{B}^{k} \rightarrow \mathbb {R}^{k}$ — конечная мера, такая что если $A \in \mathcal{B}^{k}$ и $v(A)>0$, то существует $B \in \mathcal{B}^{k}$ с $B \subseteq A$ и $0<v(B)<v(A)$. Тогда существует несчётное компактное множество $K$, такое что $K \subseteq A$ и $v(K)=0$.

Пусть $\mathcal{A}$ обозначает алгебру на $\Omega$, и пусть $\mu$ и $v$ обозначают меры с областью определения $\sigma (\mathcal{A})$, являющиеся $\sigma$-конечными на $\mathcal{A}$. Пусть $E \in \sigma (\mathcal{A})$ таково, что $\mu (E), v(E)<+\infty$, и пусть дано $\varepsilon >0$. Тогда существует $E_{0} \in \mathcal{A}$, такое что $\mu \left(E \triangle E_{0}\right), v\left(E \triangle E_{0}\right)<\varepsilon$.