Непрерывные линейные операторы на гильбертовых пространствах

Пусть $[a, b]$ — замкнутый ограниченный интервал вещественных чисел. Покажите, что скалярное произведение $L^{2}[a, b]$ также является скалярным произведением на $C[a, b]$. Является ли $C[a, b]$, рассматриваемое как пространство со скалярным произведением $L^{2}[a, b]$, гильбертовым пространством?

Покажите, что максимум-норма на $C[a, b]$ не индуцируется скалярным произведением, как и обычная норма на $\ell^{1}$.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства. Покажите, что декартово произведение $H_{1} \times H_{2}$ также является гильбертовым пространством со скалярным произведением, относительно которого $H_{1} \times \left\{ 0\right\} = \left[\left\{ 0\right\} \times H_{2}\right]^{\perp }$.

Покажите, что если $S$ — подмножество пространства $H$ со скалярным произведением, то $S^{\perp }$ — замкнутое подпространство $H$.

Пусть $S$ — подмножество $H$. Покажите, что $S = \left(S^{\perp }\right)^{\perp }$ тогда и только тогда, когда $S$ — замкнутое подпространство $H$.

Покажите, что для любых двух векторов $u, v \in H$

Пусть $X$ — линейное пространство с нормой $\left\| \cdot \right\|$. Используя тождество поляризации, покажите, что норма $\left\| \cdot \right\|$ индуцируется скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполняется тождество параллелограмма.

Пусть $V$ — замкнутое подпространство $H$, а $P$ — проекция $H$ на $V$. Покажите, что $P$ является ортогональной проекцией $H$ на $V$ тогда и только тогда, когда выполняется (4).

Пусть $T$ принадлежит $\mathcal{L}(H)$. Покажите, что $T$ является изометрией тогда и только тогда, когда

Пусть $V$ — конечномерное подпространство $H$, а $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — базис $V$, состоящий из единичных векторов, каждая пара которых ортогональна. Покажите, что ортогональная проекция $P$ пространства $H$ на $V$ задается формулой

Для вектора $h$ в $H$ покажите, что функция $u \mapsto \left\langle h, u \right\rangle$ принадлежит $H^{*}$.

Для любого вектора $h \in H$ покажите, что существует ограниченный линейный функционал $\psi \in H^{*}$, для которого

Пусть $V$ — замкнутое подпространство $H$, а $P$ — ортогональная проекция $H$ на $V$. Для любого нормированного линейного пространства $X$ и $T \in \mathcal{L}(V, X)$ покажите, что $T \circ P$ принадлежит $\mathcal{L}(H, X)$ и является продолжением $T: V \rightarrow X$, для которого $\left\| T \circ P\right\| = \left\| T\right\|$.

Докажите теорему об отделимости гиперплоскостью для $H$, рассматриваемого как локально выпуклое топологическое векторное пространство относительно сильной топологии, непосредственно используя Предложение 1.

Предложение 1: Пусть $K$ — непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства $H$, а $h_{0}$ — вектор в $H$, лежащий вне $K$. Тогда существует ровно один вектор $h^{*} \in K$, ближайший к $h_{0}$, в том смысле, что $\left\| h_{0} - h^{*}\right\| = \operatorname {dist}_{K}(h_{0}) = \inf_{h \in K} \left\| h_{0} - h\right\|$.

Используя Предложение 1, докажите лемму Крейна-Мильмана в гильбертовом пространстве.

Предложение 1: Пусть $K$ — непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства $H$, а $h_{0}$ — вектор в $H$, лежащий вне $K$. Тогда существует ровно один вектор $h^{*} \in K$, ближайший к $h_{0}$, в том смысле, что $\left\| h_{0} - h^{*}\right\| = \operatorname {dist}_{K}(h_{0}) = \inf_{h \in K} \left\| h_{0} - h\right\|$.

Покажите, что ортонормированное подмножество сепарабельного гильбертова пространства $H$ должно быть счетным.

Пусть $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ — ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве $H$. Покажите, что $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ слабо сходится к 0 в $H$.

Пусть $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ — ортонормированный базис сепарабельного гильбертова пространства $H$. Покажите, что $\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u$ слабо тогда и только тогда, когда $\left\{ u_{n}\right\}$ ограничена и для каждого $k$ выполняется $\lim_{n \rightarrow \infty } \left\langle u_{n}, \varphi_{k} \right\rangle = \left\langle u, \varphi_{k} \right\rangle$.

Покажите, что любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изометрически изоморфны и что любой такой изоморфизм сохраняет скалярное произведение.

Пусть $V$ — замкнутое сепарабельное подпространство $H$, для которого $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ является ортонормированным базисом. Покажите, что ортогональная проекция $H$ на $V, P$, задается формулой

Пусть $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $H$. Проверьте, что

Также проверьте, что

где при каждом натуральном $k$ имеем $a_{k} = \left\langle u, \varphi_{k} \right\rangle$ и $b_{k} = \left\langle v, \varphi_{k} \right\rangle$.

Проверьте утверждения в примере ортонормированного базиса для $L^{2}[0,2 \pi ]$.

Используя Предложение 5 и теорему Стоуна-Вейерштрасса, покажите, что для каждой $f \in L^{2}[-\pi , \pi ]$

где сходимость понимается в $L^{2}[-\pi , \pi ]$ и каждое

Предложение 5: Ортонормированная последовательность $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ в гильбертовом пространстве $H$ полна тогда и только тогда, когда она является ортонормированным базисом.

Покажите, что ни $\ell^{1}, \ell^{\infty }, L^{1}[a, b]$, ни $L^{\infty }[a, b]$ не являются гильбертизуемыми.

Пусть $H$ — пространство со скалярным произведением. Покажите, что поскольку $H$ является плотным подмножеством банахова пространства $X$, норма которого сужается до нормы, индуцированной скалярным произведением на $H$, скалярное произведение на $H$ продолжается до $X$ и индуцирует норму на $X$. Следовательно, пространства со скалярным произведением имеют гильбертовы пополнения.

Доказательство основано на теореме представления Рисса-Фреше. Пусть ($X, \mathcal{M}, \mu$) — конечное пространство с мерой, а $\nu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty )$ — конечная мера, абсолютно непрерывная относительно $\mu$. Заполните следующий план доказательства того, что существует неотрицательная измеримая функция $h: X \rightarrow [0, \infty )$, для которой $\nu (E) = \int_{E} h d \mu$ для всех $E \in \mathcal{M}$.

Проверьте (14).

Пусть $T, S \in \mathcal{L}(H)$ симметричны. Покажите, что $T = S$ тогда и только тогда, когда $Q_{T} = Q_{S}$.

Покажите, что ограниченные симметричные операторы образуют замкнутое подпространство $\mathcal{L}(H)$. Также покажите, что если $T$ и $S$ симметричны, то композиция $S \circ T$ симметрична тогда и только тогда, когда $T$ коммутирует с $S$ относительно композиции, то есть $S \circ T = T \circ S$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а линейный оператор $T: H \rightarrow H$ обладает тем свойством, что $\left\langle T(u), v \right\rangle = \left\langle u, T(v) \right\rangle$ для всех $u, v \in H$. Покажите, что $T$ принадлежит $\mathcal{L}(H)$, то есть $T$ ограничен.

Приведите оператор $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, для которого $\left\| T\right\| > \sup_{\left\| u\right\| = 1}\left| \left\langle T(u), u \right\rangle \right|$.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(H)$ симметричны. Предположим, что $S \geq T$ и $T \geq S$. Докажите, что $T = S$.

Пусть $V$ — замкнутое нетривиальное подпространство гильбертова пространства $H$, а $P$ — ортогональная проекция $H$ на $V$. Покажите, что $P = P^{*}, P \geq 0$ и $\left\| P\right\| = 1$.

Пусть $P \in \mathcal{L}(H)$ — проекция. Покажите, что $P$ является ортогональной проекцией $H$ на $P(H)$ тогда и только тогда, когда $P = P^{*}$.

Пусть $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $H$, и для каждого натурального числа $n$ определите $P_{n}$ как ортогональную проекцию $H$ на линейную оболочку $\left\{ \varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}\right\}$. Покажите, что $P_{n}$ симметричен и

Покажите, что $\left\{ P_{n}\right\}$ сходится поточечно на $H$ к Id, но не сходится равномерно на единичном шаре.

Покажите, что если $T \in \mathcal{L}(H)$ обратим, то $T^{*} \circ T$ также обратим, а значит, обратим и $T^{*}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ симметричен и неотрицателен. Покажите, что для всех $u, v \in H$

Используя предыдущую задачу, покажите, что если $S, T \in \mathcal{L}(H)$ симметричны и $S \geq T$, то для каждого $u \in H$ $\left\| S(u)-T(u)\right\|^{4} = \left\langle (S-T)(u), (S-T)(u) \right\rangle^{2} \leq \left| \left\langle (S-T)(u), u \right\rangle \right|\left| \left\langle (S-T)^{2}(u), (S-T)(u) \right\rangle \right|$ и тем самым заключите, что

Последовательность $\left\{ T_{n}\right\}$ симметричных операторов в $\mathcal{L}(H)$ называется монотонно возрастающей, если $T_{n+1} \geq T_{n}$ для каждого $n$, и называется ограниченной сверху, если существует симметричный оператор $S$ в $\mathcal{L}(H)$ такой, что $T_{n} \leq S$ для всех $n$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(H)$ — симметричный оператор, для которого $0 \leq S \leq \operatorname {Id}$. Определите последовательность $\left\{ T_{n}\right\}$ в $\mathcal{L}(H)$, полагая $T_{1} = 1 / 2(\operatorname {Id}-S)$, и если $n$ — натуральное число, для которого $T_{n} \in \mathcal{L}(H)$ уже определен, определяя $T_{n+1} = 1 / 2\left(\mathrm{Id}-S+T_{n}^{2}\right)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ — неотрицательный симметричный оператор. Неотрицательный симметричный оператор $A \in \mathcal{L}(H)$ называется квадратным корнем из $T$, если $A^{2} = T$. Используя индуктивное построение из предыдущей задачи, покажите, что $T$ имеет квадратный корень $A$, который коммутирует с каждым оператором в $\mathcal{L}(H)$, коммутирующим с $T$. Покажите, что квадратный корень единствен: он обозначается $\sqrt{T}$. Наконец, покажите, что $T$ обратим тогда и только тогда, когда $\sqrt{T}$ обратим.

Обратимый оператор $T \in \mathcal{L}(H)$ называется ортогональным, если $T^{-1} = T^{*}$. Покажите, что обратимый оператор ортогонален тогда и только тогда, когда он является изометрией.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ обратим. Покажите, что существуют ортогональный обратимый оператор $A \in \mathcal{L}(H)$ и неотрицательный симметричный обратимый оператор $B \in \mathcal{L}(H)$ такие, что $T = B \circ A$.

Покажите, что если $H$ бесконечномерно, а $T \in \mathcal{L}(H)$ обратим, то $T$ не компактен.

Докажите Предложение 17.

Предложение 17: Для $T \in \mathcal{L}(H)$ следующие три свойства эквивалентны: (i) $T$ компактен; (ii) $T(B)$ вполне ограничено, где $B$ — замкнутый единичный шар в $H$; (iii) если $\left\{ h_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $H$, то $\left\{ T(h_{n})\right\}$ имеет сильно сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $\mathcal{K}(H)$ обозначает множество компактных операторов в $\mathcal{L}(H)$. Покажите, что $\mathcal{K}(H)$ — линейное подпространство $\mathcal{L}(H)$. Более того, покажите, что для $K \in \mathcal{K}(H)$ и $T \in \mathcal{L}(H)$ оба оператора $K \circ T$ и $T \circ K$ принадлежат $\mathcal{K}(H)$.

Покажите, что линейный оператор $T: H \rightarrow H$ непрерывен тогда и только тогда, когда он переводит слабо сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся последовательности.

Покажите, что $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u$ слабо и $\left\{ v_{n}\right\} \rightarrow v$ слабо, выполняется $\left\langle K\left(u_{n}\right), v_{n} \right\rangle \rightarrow \left\langle K(u), v \right\rangle$.

Пусть $\left\{ P_{n}\right\}$ — последовательность ортогональных проекций в $\mathcal{L}(H)$, обладающая тем свойством, что для натуральных чисел $n$ и $m$, $P_{n}(H)$ и $P_{m}(H)$ — ортогональные конечномерные подпространства $H$. Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность вещественных чисел. Покажите, что

является корректно определенным симметричным оператором в $\mathcal{L}(H)$, который компактен тогда и только тогда, когда $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ сходится к 0.

Для банахова пространства $X$ назовем оператор $T \in \mathcal{L}(X)$ компактным, если $T(B)$ имеет компактное замыкание. Покажите, что Предложение 17 выполняется для общего банахова пространства, а Предложение 18 выполняется для рефлексивного банахова пространства.

Предложение 17: Для $T \in \mathcal{L}(H)$ следующие три свойства эквивалентны: (i) $T$ компактен; (ii) $T(B)$ вполне ограничено, где $B$ — замкнутый единичный шар в $H$; (iii) если $\left\{ h_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $H$, то $\left\{ T(h_{n})\right\}$ имеет сильно сходящуюся подпоследовательность. Предложение 18: Оператор $T$ в $\mathcal{L}(H)$ компактен тогда и только тогда, когда он переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся последовательности, то есть если $\left\{ h_{n}\right\} \rightarrow h$ слабо, то $\left\{ T(h_{n})\right\} \rightarrow T(h)$ сильно.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ компактен и симметричен. Определите

Покажите, что если $\alpha < 0$, то $\alpha$ является собственным значением $T$, а если $\beta > 0$, то $\beta$ является собственным значением $T$. Приведите пример, где $\alpha = 0$, и тем не менее $\alpha$ не является собственным значением $T$, то есть $T$ инъективен.

Пусть $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен и симметричен. Предположим, что

Пусть $\left\{ h_{n}\right\}$ — последовательность единичных векторов, для которой $\lim_{n \rightarrow \infty } \left\langle K\left(h_{n}\right), h_{n} \right\rangle = \beta$. Покажите, что некоторая подпоследовательность $\left\{ h_{n}\right\}$ сильно сходится к собственному вектору $T$ с соответствующим собственным значением $\beta$.

Пусть $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен. Покажите, что $T = K^{*} K$ компактен и симметричен. Затем, используя теорему Гильберта-Шмидта, покажите, что существует ортонормированная последовательность $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ в $H$ такая, что $T\left(\varphi_{k}\right) = \lambda_{k} \varphi_{k}$ для всех $k$ и $T(h) = 0$, если $h$ ортогонален $\left\{ \varphi_{k}\right\}_{k = 0}^{\infty }$. Заключите, что если $h$ ортогонален $\left\{ \varphi_{k}\right\}_{k = 0}^{\infty }$, то

Определите $H_{0}$ как замкнутую линейную оболочку $\left\{ K^{m}\left(\varphi_{k}\right) \mid m \geq 0, k \geq 1\right\}$. Покажите, что $H_{0}$ замкнуто и сепарабельно, $K\left(H_{0}\right) \subseteq H_{0}$ и $K = 0$ на $H_{0}^{\perp }$.

Пусть $\mathcal{K}(H)$ обозначает множество компактных операторов в $\mathcal{L}(H)$. Покажите, что $\mathcal{K}(H)$ — замкнутое подпространство $\mathcal{L}(H)$, для которого множество операторов конечного ранга является плотным подпространством. Является ли $\mathcal{K}(H)$ открытым подмножеством $\mathcal{L}(H)$?

Покажите, что композиция в любом порядке фредгольмова оператора индекса 0 с обратимым оператором также является фредгольмовой индекса 0.

Покажите, что композиция двух фредгольмовых операторов индекса 0 также является фредгольмовой индекса 0.

Покажите, что оператор $T \in \mathcal{L}(H)$ является фредгольмовым индекса 0 тогда и только тогда, когда он является возмущением обратимого оператора оператором конечного ранга.

Проведите следующее рассуждение, чтобы показать, что совокупность обратимых операторов в $\mathcal{L}(H)$ является открытым подмножеством $\mathcal{L}(H)$.

Покажите, что множество операторов в $\mathcal{L}(H)$, являющихся фредгольмовыми индекса 0, является открытым подмножеством $\mathcal{L}(H)$.

Следуя методу ортогональной аппроксимирующей последовательности, использованному в доказательстве Предложения 22, приведите другое доказательство Леммы 14 в случае, когда $H$ сепарабельно.

Для $T \in \mathcal{L}(H)$ предположим, что $\left\langle T(h), h \right\rangle \geq \left\| h\right\|^{2}$ для всех $h \in H$. Предположим, что $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен и $T+K$ инъективен. Покажите, что $T+K$ сюръективен.

Пусть $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен, а $\mu \in \mathbb {R}$ таково, что $\left|\mu \right| > \left\| K\right\|$. Покажите, что $\mu -K$ обратим.

Пусть $S \in \mathcal{L}(H)$ таково, что $\left\| S\right\| < 1$, $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен и $(\operatorname {Id}+S+K)(H) = H$. Покажите, что Id $+S+K$ инъективен.

Пусть $\mathcal{G} L(H)$ обозначает множество обратимых операторов в $\mathcal{L}(H)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ — фредгольмов оператор индекса нуль, а $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен. Покажите, что $T+K$ — фредгольмов оператор индекса нуль.

Пусть $X_{0}$ — подпространство конечной коразмерности линейного пространства $X$. Покажите, что все конечномерные линейные дополнения к $X_{0}$ в $X$ имеют одинаковую размерность.