Симметричные операторы

Проверьте (14).

Пусть $T, S \in \mathcal{L}(H)$ симметричны. Покажите, что $T = S$ тогда и только тогда, когда $Q_{T} = Q_{S}$.

Покажите, что ограниченные симметричные операторы образуют замкнутое подпространство $\mathcal{L}(H)$. Также покажите, что если $T$ и $S$ симметричны, то композиция $S \circ T$ симметрична тогда и только тогда, когда $T$ коммутирует с $S$ относительно композиции, то есть $S \circ T = T \circ S$.

Пусть $H$ — гильбертово пространство, а линейный оператор $T: H \rightarrow H$ обладает тем свойством, что $\left\langle T(u), v \right\rangle = \left\langle u, T(v) \right\rangle$ для всех $u, v \in H$. Покажите, что $T$ принадлежит $\mathcal{L}(H)$, то есть $T$ ограничен.

Приведите оператор $T \in \mathcal{L}\left(\mathbb {R}^{2}\right)$, для которого $\left\| T\right\| > \sup_{\left\| u\right\| = 1}\left| \left\langle T(u), u \right\rangle \right|$.

Пусть $S, T \in \mathcal{L}(H)$ симметричны. Предположим, что $S \geq T$ и $T \geq S$. Докажите, что $T = S$.

Пусть $V$ — замкнутое нетривиальное подпространство гильбертова пространства $H$, а $P$ — ортогональная проекция $H$ на $V$. Покажите, что $P = P^{*}, P \geq 0$ и $\left\| P\right\| = 1$.

Пусть $P \in \mathcal{L}(H)$ — проекция. Покажите, что $P$ является ортогональной проекцией $H$ на $P(H)$ тогда и только тогда, когда $P = P^{*}$.

Пусть $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $H$, и для каждого натурального числа $n$ определите $P_{n}$ как ортогональную проекцию $H$ на линейную оболочку $\left\{ \varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}\right\}$. Покажите, что $P_{n}$ симметричен и

Покажите, что $\left\{ P_{n}\right\}$ сходится поточечно на $H$ к Id, но не сходится равномерно на единичном шаре.

Покажите, что если $T \in \mathcal{L}(H)$ обратим, то $T^{*} \circ T$ также обратим, а значит, обратим и $T^{*}$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ симметричен и неотрицателен. Покажите, что для всех $u, v \in H$

Используя предыдущую задачу, покажите, что если $S, T \in \mathcal{L}(H)$ симметричны и $S \geq T$, то для каждого $u \in H$ $\left\| S(u)-T(u)\right\|^{4} = \left\langle (S-T)(u), (S-T)(u) \right\rangle^{2} \leq \left| \left\langle (S-T)(u), u \right\rangle \right|\left| \left\langle (S-T)^{2}(u), (S-T)(u) \right\rangle \right|$ и тем самым заключите, что

Последовательность $\left\{ T_{n}\right\}$ симметричных операторов в $\mathcal{L}(H)$ называется монотонно возрастающей, если $T_{n+1} \geq T_{n}$ для каждого $n$, и называется ограниченной сверху, если существует симметричный оператор $S$ в $\mathcal{L}(H)$ такой, что $T_{n} \leq S$ для всех $n$.

Пусть $S \in \mathcal{L}(H)$ — симметричный оператор, для которого $0 \leq S \leq \operatorname {Id}$. Определите последовательность $\left\{ T_{n}\right\}$ в $\mathcal{L}(H)$, полагая $T_{1} = 1 / 2(\operatorname {Id}-S)$, и если $n$ — натуральное число, для которого $T_{n} \in \mathcal{L}(H)$ уже определен, определяя $T_{n+1} = 1 / 2\left(\mathrm{Id}-S+T_{n}^{2}\right)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ — неотрицательный симметричный оператор. Неотрицательный симметричный оператор $A \in \mathcal{L}(H)$ называется квадратным корнем из $T$, если $A^{2} = T$. Используя индуктивное построение из предыдущей задачи, покажите, что $T$ имеет квадратный корень $A$, который коммутирует с каждым оператором в $\mathcal{L}(H)$, коммутирующим с $T$. Покажите, что квадратный корень единствен: он обозначается $\sqrt{T}$. Наконец, покажите, что $T$ обратим тогда и только тогда, когда $\sqrt{T}$ обратим.

Обратимый оператор $T \in \mathcal{L}(H)$ называется ортогональным, если $T^{-1} = T^{*}$. Покажите, что обратимый оператор ортогонален тогда и только тогда, когда он является изометрией.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ обратим. Покажите, что существуют ортогональный обратимый оператор $A \in \mathcal{L}(H)$ и неотрицательный симметричный обратимый оператор $B \in \mathcal{L}(H)$ такие, что $T = B \circ A$.