Сепарабельность, неравенство Бесселя и ортонормированные базисы

Покажите, что ортонормированное подмножество сепарабельного гильбертова пространства $H$ должно быть счетным.

Пусть $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ — ортонормированная последовательность в гильбертовом пространстве $H$. Покажите, что $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ слабо сходится к 0 в $H$.

Пусть $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ — ортонормированный базис сепарабельного гильбертова пространства $H$. Покажите, что $\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u$ слабо тогда и только тогда, когда $\left\{ u_{n}\right\}$ ограничена и для каждого $k$ выполняется $\lim_{n \rightarrow \infty } \left\langle u_{n}, \varphi_{k} \right\rangle = \left\langle u, \varphi_{k} \right\rangle$.

Покажите, что любые два бесконечномерных сепарабельных гильбертовых пространства изометрически изоморфны и что любой такой изоморфизм сохраняет скалярное произведение.

Пусть $V$ — замкнутое сепарабельное подпространство $H$, для которого $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ является ортонормированным базисом. Покажите, что ортогональная проекция $H$ на $V, P$, задается формулой

Пусть $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ — ортонормированный базис гильбертова пространства $H$. Проверьте, что

Также проверьте, что

где при каждом натуральном $k$ имеем $a_{k} = \left\langle u, \varphi_{k} \right\rangle$ и $b_{k} = \left\langle v, \varphi_{k} \right\rangle$.

Проверьте утверждения в примере ортонормированного базиса для $L^{2}[0,2 \pi ]$.

Используя Предложение 5 и теорему Стоуна-Вейерштрасса, покажите, что для каждой $f \in L^{2}[-\pi , \pi ]$

где сходимость понимается в $L^{2}[-\pi , \pi ]$ и каждое

Предложение 5: Ортонормированная последовательность $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ в гильбертовом пространстве $H$ полна тогда и только тогда, когда она является ортонормированным базисом.