Теорема Гильберта-Шмидта

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ компактен и симметричен. Определите

Покажите, что если $\alpha < 0$, то $\alpha$ является собственным значением $T$, а если $\beta > 0$, то $\beta$ является собственным значением $T$. Приведите пример, где $\alpha = 0$, и тем не менее $\alpha$ не является собственным значением $T$, то есть $T$ инъективен.

Пусть $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен и симметричен. Предположим, что

Пусть $\left\{ h_{n}\right\}$ — последовательность единичных векторов, для которой $\lim_{n \rightarrow \infty } \left\langle K\left(h_{n}\right), h_{n} \right\rangle = \beta$. Покажите, что некоторая подпоследовательность $\left\{ h_{n}\right\}$ сильно сходится к собственному вектору $T$ с соответствующим собственным значением $\beta$.