Сопряжённое пространство и слабая последовательная компактность

[3/0%]

LaTeX

Показать LaTeX

Задача 20.24

Покажите, что ни $\ell^{1}, \ell^{\infty }, L^{1}[a, b]$ , ни $L^{\infty }[a, b]$ не являются гильбертизуемыми.

Задача 20.25

Пусть $H$ — пространство со скалярным произведением. Покажите, что поскольку $H$ является плотным подмножеством банахова пространства $X$ , норма которого сужается до нормы, индуцированной скалярным произведением на $H$ , скалярное произведение на $H$ продолжается до $X$ и индуцирует норму на $X$ . Следовательно, пространства со скалярным произведением имеют гильбертовы пополнения.

Задача 20.26

Доказательство основано на теореме представления Рисса-Фреше. Пусть ( $X, \mathcal{M}, \mu$ ) — конечное пространство с мерой, а $\nu : \mathcal{M} \rightarrow [0, \infty )$ — конечная мера, абсолютно непрерывная относительно $\mu$ . Заполните следующий план доказательства того, что существует неотрицательная измеримая функция $h: X \rightarrow [0, \infty )$ , для которой $\nu (E) = \int_{E} h d \mu$ для всех $E \in \mathcal{M}$ .

(i)

Определите меру $\lambda = \mu +\nu$ на $\sigma$ -алгебре $\mathcal{M}$ и функционал $\psi$ на $L^{2}(X, \lambda )$ формулой

\psi (f) = \int _{X} f d \mu \text{ для всех } f \in L^{2}(X, \lambda )

Покажите, что, поскольку $\lambda (X) < \infty$ , $\psi$ — ограниченный линейный функционал на $L^{2}(X, \lambda )$ .

(ii)

По теореме представления Рисса-Фреше для гильбертова пространства $L^{2}(X, \lambda )$ существует функция $g \in L^{2}(X, \lambda )$ такая, что

\int _{X} f d \mu = \int _{X} f \cdot g d \lambda \text{ для всех } f \in L^{2}(X, \lambda )

и, следовательно,

\int _{X} f d \mu = \int _{X} f \cdot g d \mu +\int _{X} f \cdot g d \nu \text{ для всех } f \in L^{2}(X, \lambda ) \tag {*}

(iii)

Заключите, что, поскольку $\lambda (X) < \infty$ ,

\mu (E) = \int _{E} g d \mu +\int _{E} g d \nu \text{ для всех } E \in \mathcal{M}

Следовательно, $\lambda \left\{ x \in X \mid g(x) > 1\right\} = 0$ , и, используя абсолютную непрерывность $\nu$ относительно $\mu$ , мы также получаем $\lambda \left\{ x \in X \mid g(x) = 0\right\} = 0$ . Следовательно, можно считать, что $0 < g \leq 1$ на $X$ .

(iv)

Для натурального числа $n$ и $E \in \mathcal{M}$ подставьте $f = \chi_{E} \cdot \frac{1}{g+1 / n}$ в (*) и, используя теорему о монотонной сходимости, перейдите к пределу при $n \rightarrow \infty$ , чтобы заключить, что

\nu (E) = \int _{E} h d \mu \text{ для всех } E \in \mathcal{M}, \text{ где } h = [1 / g-1]

и $h$ неотрицательна и измерима.

(v)

Покажите, что, взяв счетное измеримое разбиение $X$ такое, что $\mu$ и $\nu$ конечны на каждом множестве разбиения, приведенный выше частный случай теоремы Радона-Никодима распространяется на случай, когда меры $\mu$ и $\nu$ $\sigma$ -конечны.