Теорема Рисса-Шаудера: характеризация операторов Фредгольма

Пусть $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен. Покажите, что $T = K^{*} K$ компактен и симметричен. Затем, используя теорему Гильберта-Шмидта, покажите, что существует ортонормированная последовательность $\left\{ \varphi_{k}\right\}$ в $H$ такая, что $T\left(\varphi_{k}\right) = \lambda_{k} \varphi_{k}$ для всех $k$ и $T(h) = 0$, если $h$ ортогонален $\left\{ \varphi_{k}\right\}_{k = 0}^{\infty }$. Заключите, что если $h$ ортогонален $\left\{ \varphi_{k}\right\}_{k = 0}^{\infty }$, то

Определите $H_{0}$ как замкнутую линейную оболочку $\left\{ K^{m}\left(\varphi_{k}\right) \mid m \geq 0, k \geq 1\right\}$. Покажите, что $H_{0}$ замкнуто и сепарабельно, $K\left(H_{0}\right) \subseteq H_{0}$ и $K = 0$ на $H_{0}^{\perp }$.

Пусть $\mathcal{K}(H)$ обозначает множество компактных операторов в $\mathcal{L}(H)$. Покажите, что $\mathcal{K}(H)$ — замкнутое подпространство $\mathcal{L}(H)$, для которого множество операторов конечного ранга является плотным подпространством. Является ли $\mathcal{K}(H)$ открытым подмножеством $\mathcal{L}(H)$?

Покажите, что композиция в любом порядке фредгольмова оператора индекса 0 с обратимым оператором также является фредгольмовой индекса 0.

Покажите, что композиция двух фредгольмовых операторов индекса 0 также является фредгольмовой индекса 0.

Покажите, что оператор $T \in \mathcal{L}(H)$ является фредгольмовым индекса 0 тогда и только тогда, когда он является возмущением обратимого оператора оператором конечного ранга.

Проведите следующее рассуждение, чтобы показать, что совокупность обратимых операторов в $\mathcal{L}(H)$ является открытым подмножеством $\mathcal{L}(H)$.

Покажите, что множество операторов в $\mathcal{L}(H)$, являющихся фредгольмовыми индекса 0, является открытым подмножеством $\mathcal{L}(H)$.

Следуя методу ортогональной аппроксимирующей последовательности, использованному в доказательстве Предложения 22, приведите другое доказательство Леммы 14 в случае, когда $H$ сепарабельно.

Для $T \in \mathcal{L}(H)$ предположим, что $\left\langle T(h), h \right\rangle \geq \left\| h\right\|^{2}$ для всех $h \in H$. Предположим, что $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен и $T+K$ инъективен. Покажите, что $T+K$ сюръективен.

Пусть $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен, а $\mu \in \mathbb {R}$ таково, что $\left|\mu \right| > \left\| K\right\|$. Покажите, что $\mu -K$ обратим.

Пусть $S \in \mathcal{L}(H)$ таково, что $\left\| S\right\| < 1$, $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен и $(\operatorname {Id}+S+K)(H) = H$. Покажите, что Id $+S+K$ инъективен.

Пусть $\mathcal{G} L(H)$ обозначает множество обратимых операторов в $\mathcal{L}(H)$.

Пусть $T \in \mathcal{L}(H)$ — фредгольмов оператор индекса нуль, а $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен. Покажите, что $T+K$ — фредгольмов оператор индекса нуль.

Пусть $X_{0}$ — подпространство конечной коразмерности линейного пространства $X$. Покажите, что все конечномерные линейные дополнения к $X_{0}$ в $X$ имеют одинаковую размерность.