Компактные операторы

Покажите, что если $H$ бесконечномерно, а $T \in \mathcal{L}(H)$ обратим, то $T$ не компактен.

Докажите Предложение 17.

Предложение 17: Для $T \in \mathcal{L}(H)$ следующие три свойства эквивалентны: (i) $T$ компактен; (ii) $T(B)$ вполне ограничено, где $B$ — замкнутый единичный шар в $H$; (iii) если $\left\{ h_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $H$, то $\left\{ T(h_{n})\right\}$ имеет сильно сходящуюся подпоследовательность.

Пусть $\mathcal{K}(H)$ обозначает множество компактных операторов в $\mathcal{L}(H)$. Покажите, что $\mathcal{K}(H)$ — линейное подпространство $\mathcal{L}(H)$. Более того, покажите, что для $K \in \mathcal{K}(H)$ и $T \in \mathcal{L}(H)$ оба оператора $K \circ T$ и $T \circ K$ принадлежат $\mathcal{K}(H)$.

Покажите, что линейный оператор $T: H \rightarrow H$ непрерывен тогда и только тогда, когда он переводит слабо сходящиеся последовательности в слабо сходящиеся последовательности.

Покажите, что $K \in \mathcal{L}(H)$ компактен тогда и только тогда, когда всякий раз, когда $\left\{ u_{n}\right\} \rightarrow u$ слабо и $\left\{ v_{n}\right\} \rightarrow v$ слабо, выполняется $\left\langle K\left(u_{n}\right), v_{n} \right\rangle \rightarrow \left\langle K(u), v \right\rangle$.

Пусть $\left\{ P_{n}\right\}$ — последовательность ортогональных проекций в $\mathcal{L}(H)$, обладающая тем свойством, что для натуральных чисел $n$ и $m$, $P_{n}(H)$ и $P_{m}(H)$ — ортогональные конечномерные подпространства $H$. Пусть $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность вещественных чисел. Покажите, что

является корректно определенным симметричным оператором в $\mathcal{L}(H)$, который компактен тогда и только тогда, когда $\left\{ \lambda_{n}\right\}$ сходится к 0.

Для банахова пространства $X$ назовем оператор $T \in \mathcal{L}(X)$ компактным, если $T(B)$ имеет компактное замыкание. Покажите, что Предложение 17 выполняется для общего банахова пространства, а Предложение 18 выполняется для рефлексивного банахова пространства.

Предложение 17: Для $T \in \mathcal{L}(H)$ следующие три свойства эквивалентны: (i) $T$ компактен; (ii) $T(B)$ вполне ограничено, где $B$ — замкнутый единичный шар в $H$; (iii) если $\left\{ h_{n}\right\}$ — ограниченная последовательность в $H$, то $\left\{ T(h_{n})\right\}$ имеет сильно сходящуюся подпоследовательность. Предложение 18: Оператор $T$ в $\mathcal{L}(H)$ компактен тогда и только тогда, когда он переводит слабо сходящиеся последовательности в сильно сходящиеся последовательности, то есть если $\left\{ h_{n}\right\} \rightarrow h$ слабо, то $\left\{ T(h_{n})\right\} \rightarrow T(h)$ сильно.