Скалярное произведение и ортогональность

Пусть $[a, b]$ — замкнутый ограниченный интервал вещественных чисел. Покажите, что скалярное произведение $L^{2}[a, b]$ также является скалярным произведением на $C[a, b]$. Является ли $C[a, b]$, рассматриваемое как пространство со скалярным произведением $L^{2}[a, b]$, гильбертовым пространством?

Покажите, что максимум-норма на $C[a, b]$ не индуцируется скалярным произведением, как и обычная норма на $\ell^{1}$.

Пусть $H_{1}$ и $H_{2}$ — гильбертовы пространства. Покажите, что декартово произведение $H_{1} \times H_{2}$ также является гильбертовым пространством со скалярным произведением, относительно которого $H_{1} \times \left\{ 0\right\} = \left[\left\{ 0\right\} \times H_{2}\right]^{\perp }$.

Покажите, что если $S$ — подмножество пространства $H$ со скалярным произведением, то $S^{\perp }$ — замкнутое подпространство $H$.

Пусть $S$ — подмножество $H$. Покажите, что $S = \left(S^{\perp }\right)^{\perp }$ тогда и только тогда, когда $S$ — замкнутое подпространство $H$.

Покажите, что для любых двух векторов $u, v \in H$

Пусть $X$ — линейное пространство с нормой $\left\| \cdot \right\|$. Используя тождество поляризации, покажите, что норма $\left\| \cdot \right\|$ индуцируется скалярным произведением тогда и только тогда, когда выполняется тождество параллелограмма.

Пусть $V$ — замкнутое подпространство $H$, а $P$ — проекция $H$ на $V$. Покажите, что $P$ является ортогональной проекцией $H$ на $V$ тогда и только тогда, когда выполняется (4).

Пусть $T$ принадлежит $\mathcal{L}(H)$. Покажите, что $T$ является изометрией тогда и только тогда, когда

Пусть $V$ — конечномерное подпространство $H$, а $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{n}$ — базис $V$, состоящий из единичных векторов, каждая пара которых ортогональна. Покажите, что ортогональная проекция $P$ пространства $H$ на $V$ задается формулой

Для вектора $h$ в $H$ покажите, что функция $u \mapsto \left\langle h, u \right\rangle$ принадлежит $H^{*}$.

Для любого вектора $h \in H$ покажите, что существует ограниченный линейный функционал $\psi \in H^{*}$, для которого

Пусть $V$ — замкнутое подпространство $H$, а $P$ — ортогональная проекция $H$ на $V$. Для любого нормированного линейного пространства $X$ и $T \in \mathcal{L}(V, X)$ покажите, что $T \circ P$ принадлежит $\mathcal{L}(H, X)$ и является продолжением $T: V \rightarrow X$, для которого $\left\| T \circ P\right\| = \left\| T\right\|$.

Докажите теорему об отделимости гиперплоскостью для $H$, рассматриваемого как локально выпуклое топологическое векторное пространство относительно сильной топологии, непосредственно используя Предложение 1.

Предложение 1: Пусть $K$ — непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства $H$, а $h_{0}$ — вектор в $H$, лежащий вне $K$. Тогда существует ровно один вектор $h^{*} \in K$, ближайший к $h_{0}$, в том смысле, что $\left\| h_{0} - h^{*}\right\| = \operatorname {dist}_{K}(h_{0}) = \inf_{h \in K} \left\| h_{0} - h\right\|$.

Используя Предложение 1, докажите лемму Крейна-Мильмана в гильбертовом пространстве.

Предложение 1: Пусть $K$ — непустое замкнутое выпуклое подмножество гильбертова пространства $H$, а $h_{0}$ — вектор в $H$, лежащий вне $K$. Тогда существует ровно один вектор $h^{*} \in K$, ближайший к $h_{0}$, в том смысле, что $\left\| h_{0} - h^{*}\right\| = \operatorname {dist}_{K}(h_{0}) = \inf_{h \in K} \left\| h_{0} - h\right\|$.