Фундаментальная группа и её приложения

Найдите обратный элемент для каждого элемента $S_3$.

Проверьте, что $m(\mathbb {R}^{2})$ не абелева.

Покажите, что обратные элементы единственны.

Определите, являются ли следующие отображения гомоморфизмами:

Покажите, что отображение из $(\mathbb {Z}^{2}, +)$ в $(\left\{ -1, 1\right\} , \cdot )$, определённое отправлением $0$ в $1$ и $1$ в $-1$, действительно является изоморфизмом.

Определите, изоморфны ли следующие группы. Либо постройте изоморфизм и докажите, что это изоморфизм, либо покажите, почему изоморфизма не существует.

Проверьте, что $\ker f$ и $\operatorname {im} f$ являются подгруппами.

Покажите, что если $f : G_1 \rightarrow G_2$ — гомоморфизм, то $\ker f$ является нормальной подгруппой.

Покажите, что если $S_3$ обозначает перестановки множества $\left\{ 1, 2, 3\right\}$, то подгруппа, состоящая из двух перестановок $[123]$, $[213]$, не является нормальной.

Пусть $F$ — функтор из категории топологических пространств и непрерывных отображений в категорию конечно порождённых абелевых групп и гомоморфизмов, такой что для компактных связных поверхностей (без края) $A, B$ выполняется $F(A \# B) = F(A) \oplus F(B)$. Для конечно порождённых абелевых групп верно, что $G_1 \oplus G_2$ изоморфна $G_1$ тогда и только тогда, когда $G_2 = \left\{ e\right\}$. Покажите, что отсюда следует, что $F(S)$ — тривиальная группа, где $S$ обозначает сферу. Покажите, что если $F(T)$ не равна $\left\{ e\right\}$, где $T$ обозначает тор, то $F$ различает $T^{(g)}$, $g \geq 0$; то есть $F(T^{(p)})$ не изоморфна $F(T^{(q)})$ при $p \neq q$, $p, q \geq 0$.

Заполните детали, чтобы показать, что индуцированное умножение $\bar{*}$ на классах эквивалентности петель, определённое как $[f]\bar{*}[g] = [f * g]$, корректно определено.

Напомним постановку: для топологического пространства $X$ с отмеченной точкой $x$ петля в $x$ — это непрерывная функция $f : (I; \left\{ 0,1\right\} ) \rightarrow (X, x)$, т.е. $f : [0,1] \rightarrow X$ с $f(0) = f(1) = x$. Две петли $f_0, f_1$ гомотопны, что записывается как $f_0 \sim f_1$, если существует непрерывная функция $F : (I \times I, \left\{ 0,1\right\} \times I) \rightarrow (X,x)$ с $F(s,0) = f_0(s)$, $F(s,1) = f_1(s)$, $F(0,t) = F(1,t) = x$. Гомотопия является отношением эквивалентности на петлях в $x$, и $[f]$ обозначает класс эквивалентности $f$. Умножение $*$ на самих петлях определяется как

Чтобы показать, что $\bar{*}$ корректно определено, покажите, что $f_0 \sim f_1$, $g_0 \sim g_1$ влечёт $f_0 * g_0 \sim f_1 * g_1$: если $F$ — гомотопия между $f_0$ и $f_1$, а $G$ — гомотопия между $g_0$ и $g_1$, образуйте $F * G$, скомпоновав гомотопии по аналогии с тем, как $f * g$ было образовано из $f$ и $g$, и покажите, что это даёт гомотопию между $f_0 * g_0$ и $f_1 * g_1$.

Выпишите формулу гомотопии между $e_x * f$ и $f$, где $e_x : I \rightarrow X$, $e_x(s) = x$, — постоянная петля в точке $x$, а $*$ обозначает умножение петель, определённое в переформулировке упражнения 3.2.1 выше.

Выпишите гомотопию между $\bar{f} * f$ и $e_x$, где $\bar{f}(s) = f(1-s)$ обозначает обращение петли $f$, $*$ — умножение петель из переформулировки упражнения 3.2.1, а $e_x$ — постоянная петля в точке $x$.

Пусть $p : \mathbb {R} \rightarrow S^1$, $p(x) = (\cos 2\pi x, \sin 2\pi x)$. Для данного $x \in \mathbb {R}$ существует интервал $I_x$, содержащий $x$ (подойдёт любой интервал длины меньше $1$), такой что $p \vert I_x$ — гомеоморфизм на свой образ; если $U = p(I_x)$, то $p^{-1}(U) = \bigcup_{n \in \mathbb {Z}} V_n$, где $V_0 = I_x$, а $V_n$ получается из $V_0$ сдвигом на $n$.

Пусть $g : X \rightarrow \bigcup J_n$ непрерывно, где $\left\{ J_n\right\}$ — попарно непересекающиеся открытые интервалы, $n \in \mathbb {Z}$, а $X$ связно. Покажите, что если $g(x_0) \in J_{n_0}$, то $g(X) \subset J_{n_0}$.

Модифицируйте изложенное выше рассуждение (доказательство того, что непрерывное отображение $f : (I, \left\{ 0,1\right\} ) \rightarrow (S^1, 1)$ обладает единственным поднятием $\tilde{f}$ с $\tilde{f}(0) = 0$, полученное покрытием $S^1$ двумя открытыми множествами $A = S^1 \setminus \left\{ -1\right\}$, $B = S^1 \setminus \left\{ 1\right\}$, разбиением $I$ с использованием числа Лебега покрытия $\left\{ f^{-1}(A), f^{-1}(B)\right\}$ и последовательным поднятием $f$ на получившихся подынтервалах), чтобы доказать свойство единственности поднятия пути, теорему 3.3.1.

Теорема 3.3.1 (свойство единственности поднятия пути): Если $f : I \rightarrow S^1$ — непрерывное отображение с $f(0) = x_0$ и $p(\tilde{x}_0) = x_0$, то существует единственное поднятие $\tilde{f} : I \rightarrow \mathbb {R}$ (т.е. $\tilde{f}$ непрерывно и $p\tilde{f} = f$) с $\tilde{f}(0) = \tilde{x}_0$.

Используйте приведённое выше рассуждение (доказательство того, что отображение $\bar{h} : \pi_1(S^1, 1) \to \mathbb {Z}$, $\bar{h}([f]) = \tilde{f}(1)$, корректно определено, которое разбивает $I \times I$ на достаточно мелкую сетку, чтобы каждый малый квадрат отображался под гомотопией $F$ в $A$ или $B$, и индуктивно строит поднятие $\tilde{F}$ по сетке, используя свойство единственности поднятия пути), чтобы доказать теорему о поднятии гомотопии 3.3.2.

Теорема 3.3.2 (теорема о поднятии гомотопии): Пусть $F : I \times I \rightarrow S^1$ — непрерывное отображение. Тогда существует непрерывное поднятие $\tilde{F} : I \times I \rightarrow \mathbb {R}$, удовлетворяющее $p\tilde{F} = F$. Более того, оно единственно, если мы также потребуем $\tilde{F}(0,0) = \tilde{x}_0$, где $p(\tilde{x}_0) = F(0,0)$.

Проверьте, что $\widetilde{f * g}$, определённое как

где $\tilde{f}, \tilde{g}$ — единственные поднятия петель $f, g$ в $1 \in S^1$ с $\tilde{f}(0) = \tilde{g}(0) = 0$, а $\tilde{g}_m(t) = \tilde{g}(t) + m$ при $m = \tilde{f}(1)$, является поднятием $f * g$ с $\widetilde{f * g}(0) = 0$.

Покажите, что если $f, f'$ — гомотопные петли (относительно $0,1$) в $1 \in S^1$, а $\tilde{f}, \tilde{f}'$ — единственные поднятия с $\tilde{f}(0) = \tilde{f}'(0) = 0$, то существует $G : I \times I \rightarrow \mathbb {R}$, $G(s,t) = G_t(s)$, с $G_0 = \tilde{f}$, $G_1 = \tilde{f}'$, $G(0,t) = 0$, $G(1,t) = \tilde{f}(1) = \tilde{f}'(1)$.

Определите новое умножение на петлях в точке $1$ на $S^1$ формулой $f \circ g(s) = p(\tilde{f}(s) + \tilde{g}(s))$, где $\tilde{f}, \tilde{g}$ — единственные поднятия $f, g$ с $\tilde{f}(0) = 0 = \tilde{g}(0)$. Покажите, что это умножение корректно определено на классах гомотопии, то есть $f \sim f'$, $g \sim g'$ влечёт $f \circ g \sim f' \circ g'$.

При определении из предыдущего упражнения (умножение $f \circ g(s) = p(\tilde{f}(s) + \tilde{g}(s))$ на петлях в точке $1$ на $S^1$) покажите, что операция $[f] \bar{\circ } [g] = [f \circ g]$ превращает множество классов гомотопии петель в точке $1$ на $S^1$ в группу, которую мы будем обозначать $\pi_1'(S^1, 1)$.

Используя обозначения предыдущих упражнений, покажите, что $\pi_1(S^1, 1) \simeq \pi_1'(S^1, 1)$.

Пусть $p_1 : X \times Y \rightarrow X$, $p_2 : X \times Y \rightarrow Y$ — проекции, и определим $P : \pi_1(X \times Y, (x,y)) \rightarrow \pi_1(X,x) \oplus \pi_1(Y,y)$ формулой $P(\alpha ) = ((p_1)_*(\alpha ), (p_2)_*(\alpha ))$. Определим $Q : \pi_1(X,x) \oplus \pi_1(Y,y) \rightarrow \pi_1(X \times Y, (x,y))$ формулой $Q([f],[g]) = [h]$, где $h(t) = (f(t), g(t))$. Покажите, что $Q$ является гомоморфизмом и обратным к $P$.

Покажите, что если $g_0, g_1 : [a,b] \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ — отображения с $g_0(a) = g_1(a)$, $g_0(b) = g_1(b)$, то $g_0$ гомотопно $g_1$ относительно концов.

Используя обозначения из предыдущего доказательства (вычисление $\pi_1(S^2, 1)$, где $S^2 = A \cup B$, $A = S^2 \setminus \left\{ 1\right\}$, $B = S^2 \setminus \left\{ -1\right\}$, и петля $f$ в точке $1$ разбивается с помощью числа Лебега так, что каждый подынтервал отображается в $A$ или в $B$), покажите, что если $g : [a,b] \rightarrow A$ таково, что $g(a), g(b) \neq -1$, то $g$ гомотопно $g'$ относительно концов, где $g'([a,b]) \subset B$.

Покажите, что если $g \vert [a,b]$ гомотопно $g' \vert [a,b]$ относительно концов (где $g : [0,1] \rightarrow X$ — петля в точке $x$), то $g$ гомотопно (как петля) $g''$, где $g'' \vert [a,b] = g' \vert [a,b]$ и $g'' \vert [0,1] \setminus (a,b) = g \vert [0,1] \setminus (a,b)$.

Докажите теорему 3.4.2.

Теорема 3.4.2: Пусть $A$, $B$ и $A \cap B$ — линейно связные открытые множества в $X = A \cup B$, и $c \in A \cap B$. Тогда, если $\pi_1(A,c)$ и $\pi_1(B,c)$ — тривиальные группы, то $\pi_1(X,c)$ также тривиальная группа.

Заполните детали, чтобы показать, что $\pi_1(P, [1]) \simeq \mathbb {Z}^{2}$, где $P$ обозначает проективную плоскость, используя следующий план.

Используйте описание $\mathbb {Z}^{2}$ как $\left\{ -1,1\right\}$ с обычным умножением в $\mathbb {R}$. Пусть $p : S^2 \rightarrow P$ — фактор-отображение, где $x \sim -x$. Используя компактность $P$, возьмите покрытие $U_1, \ldots , U_n$ пространства $P$ линейно связными открытыми множествами с $p^{-1}(U_i) = U_{i1} \cup U_{i2}$, где $p \vert U_{ij} : U_{ij} \rightarrow U_i$ — гомеоморфизм и $T(U_{i1}) = U_{i2}$ для антиподального отображения $T(x) = -x$. Для петли $f$ в точке $[1]$ используйте рассуждение с числом Лебега (как при вычислении $\pi_1(S^1,1)$), чтобы показать, что $f$ имеет единственное поднятие $\tilde{f} : I \rightarrow S^2$ с $\tilde{f}(0) = 1$. Определите $\bar{h} : \pi_1(P,[1]) \rightarrow \mathbb {Z}^{2} = \left\{ -1,1\right\}$ формулой

Покажите, что $\bar{h}$ корректно определено (используя поднятую гомотопию $\tilde{F}$ и свойство единственности поднятия пути), что $\bar{h}$ является гомоморфизмом (поднимая $f * g$ как $\tilde{f} * (T\tilde{g})$, когда $\tilde{f}(1) = -1$, используя, что $pT = p$), что $\bar{h}$ сюръективно (явно построив путь в $S^2$ из $1$ в $-1$), и что $\bar{h}$ инъективно (используя $\pi_1(S^2, 1) \simeq \left\{ e\right\}$ и рассуждение, аналогичное использованному для $\pi_1(S^1,1)$).

Проверьте, что $(\mathbb {R}, p, S^1)$, $(S^2, p, P)$ являются накрывающими пространствами, где $p : \mathbb {R} \rightarrow S^1$, $p(x) = (\cos 2\pi x, \sin 2\pi x)$, а $p : S^2 \rightarrow P$ — фактор-отображение, отождествляющее антиподальные точки.

Проверьте, что $T/(z,w) \sim h(z,w)$ гомеоморфно $K$, где мы используем наше исходное определение $K$ как фактора $D^1 \times D^1$.

Здесь $T = S^1 \times S^1$, а $h : T \rightarrow T$ — гомеоморфизм, заданный формулой $h(z,w) = (-z, \bar{w})$, где мы рассматриваем $z, w$ как комплексные числа, а $\bar{w}$ — комплексно сопряжённое к $w$.

Дайте формулу для отображения $(D^2, \frac{1}{2}D^2) \rightarrow (D^2, 0)$, посылающего $S^1$ в $S^1$ тождественно, а окружность радиуса $\frac{1}{2}$ в $0$, которое переводит радиальные линии в радиальные линии.

В линейной алгебре показывается, что не существует сюръективного гомоморфизма векторных пространств из $\mathbb {R}^{2}$ на $\mathbb {R}^{4}$ (поскольку размерность образа гомоморфизма всегда не больше размерности области определения). Используйте это, чтобы показать, что не существует гомоморфизма групп из $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ на $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.

Докажите теорему 3.5.3 (теорема об отсутствии ретракции).

Пусть $f : D^2 \rightarrow D^2$ — непрерывное отображение без неподвижной точки, так что $x - f(x)$ никогда не равно нулю. Рассмотрим луч, идущий из $f(x)$ в направлении $x$; на этом луче есть единственная точка, отличная от $f(x)$, лежащая на единичной окружности; обозначим эту точку $g(x)$. Поскольку $g(x)$ лежит на прямой, проходящей через $x$ и $f(x)$, точка $g(x)$ имеет вид $x + t(x - f(x))$ для некоторого $t \geq 0$.

Построение g : D^2 \rightarrow S^1.

Покажите, что соответствие от $x$ к $t$ в этом построении непрерывно.

Покажите, что непрерывное отображение $f : D^1 \rightarrow D^1$ обязано иметь неподвижную точку.

Предположим, что $f : S^1 \rightarrow S^1$ раскладывается как $f(z) = f_1(z) \cdot f_2(z)$, где центральная точка обозначает комплексное умножение и $f_i : S^1 \rightarrow S^1$. Покажите, что $\deg f = \deg f_1 + \deg f_2$.

Докажите предложение 3.5.10.

Напомним, что для отображения $f : rS^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ (где $rS^1$ обозначает окружность радиуса $r$ с центром в начале координат) соответствующее отображение $\bar{f} : S^1 \rightarrow S^1$ определяется как $\bar{f} = u f m_r$, где $m_r(z) = rz$, $u(z) = z/\left|z\right|$, а $\deg f$ определяется как $\deg \bar{f}$.

Предложение 3.5.10: Если $f, g : rS^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ непрерывны, то

1. если $f$ гомотопно $g$, то $\deg f = \deg g$;

2. если $f$ продолжается до непрерывного отображения $F : rD^2 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$, то $\deg f = 0$;

3. если $A(r_1, r_2) = \left\{ z : r_1 \leq \left|z\right| \leq r_2\right\}$, а $F : A(r_1, r_2) \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ непрерывно, то $\deg F \vert r_2 S^1 = \deg F \vert r_1 S^1$;

4. при ограничении на любую окружность $rS^1$, $r > 0$, отображение $f(z) = z^n$ имеет степень $n$ как отображение $rS^1$ в $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$.

Предположим, что $P(z) = (z-r_1) \cdots (z-r_n)$, а $R_1 < R_2$ — радиусы окружностей, на которых $P(z) \neq 0$.

Предположим, что $P(z) = P_1(z) P_2(z)$ — многочлен без корней на окружности радиуса $R$. Покажите, что

Предположим, что $P(z) = (z-r_1) \cdots (z-r_n)$, где $\left|r_i\right| < R$ при $i \leq k$, $\left|r_i\right| > R$ при $i > k$. Покажите, что $\deg P \vert RS^1 = k$.

Покажите, что $\deg P \vert R_2 S^1 - \deg P \vert R_1 S^1$ подсчитывает число корней (с учётом кратности) многочлена $P$ в кольце $A(R_1, R_2)$. Заметим, что мы предполагаем отсутствие корней на границе кольца, так что это выражение определено.

Докажите теорему 3.5.14 (вариант теоремы Борсука--Улама: непрерывное отображение $f : S^2 \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ обязано переводить некоторую пару антиподальных точек в одну и ту же точку), используя

для получения отображения в $S^1$, к которому можно применить теорему 3.5.13 (не существует непрерывного отображения $f : S^2 \rightarrow S^1$, которое переводит антиподальные точки в антиподальные), если $f$ не переводит ни одну пару антиподальных точек в одну и ту же точку.

Заполните детали доказательства «теоремы о бутерброде с ветчиной».

Теорема 3.5.16 (теорема о бутерброде с ветчиной): Пусть $R_1, R_2, R_3$ — три связные открытые области в $\mathbb {R}^{3}$, каждая из которых ограничена и имеет конечный объём. Тогда существует плоскость, которая делит каждую из них пополам по объёму.

Набросок доказательства: выберем большой шар с центром в начале координат, охватывающий все три области. Для каждой точки $x$ на граничной сфере рассмотрим семейство плоскостей, перпендикулярных прямой, соединяющей $x$ с началом координат; поскольку области связны и открыты, среди этих плоскостей найдётся единственная, которая делит область $R_i$ пополам по объёму. Обозначим через $d_i(x)$ направленное расстояние от этой плоскости до начала координат, положительное, если плоскость находится по ту же сторону от начала координат, что и $x$, и отрицательное в противном случае; функции $d_i$ непрерывны и удовлетворяют равенству $d_i(-x) = -d_i(x)$. Пусть $f : S^2 \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ задаётся как $f(x) = (d_1(x) - d_2(x), d_1(x) - d_3(x))$. По теореме 3.5.14 существует точка $x$, для которой $f(-x) = f(x)$, что влечёт $d_1(x) = d_2(x) = d_3(x)$, давая плоскость, которая делит все три области пополам.

Приведите пример, показывающий, что аналог «теоремы о бутерброде с ветчиной» неверен для четырёх областей; то есть мы не всегда можем разрезать бутерброд с ветчиной и сыром пополам по объёму без специального расположения ингредиентов.

Приведите подробности доказательства утверждения, что степень $vm_{x,r}$ не зависит от выбора радиуса $r$, пока мы находимся внутри диска, где $v$ обращается в нуль только в точке $x$.

Постановка: векторное поле на $X \subset \mathbb {R}^{2}$ — это непрерывная функция $v : X \rightarrow \mathbb {R}^{2}$. Для окружности радиуса $r$ с центром в точке $x$ положим $m_{x,r}(z) = x + rz$, что даёт отображение $vm_{x,r} : S^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2}$; если $v$ не обращается в нуль на этой окружности, то $\deg (vm_{x,r})$ определяется как обычно (через нормированное отображение $z \mapsto vm_{x,r}(z)/\left|vm_{x,r}(z)\right|$ в $S^1$). Точка $x$, в которой $v$ обращается в нуль, называется особой точкой; она изолирована, если существует проколотая окрестность точки $x$, на которой $v$ отлично от нуля. Для изолированной особой точки $x$ индекс $i(x)$ — это степень $vm_{x,r}$ при достаточно малом $r$, таком что единственный нуль внутри диска радиуса $r$ с центром в $x$ — это сама точка $x$.