Банк задач по математике

Задача 3.9.1

Докажите предложение 3.9.3: $\pi_1(W_k, x) \simeq F_k$ , где $W_k$ — букет (одноточечное объединение) $k$ копий $S^1$ , а $F_k$ — свободная группа на $k$ образующих.

?

Примечание.

?

Для $k=2$ : пусть $x$ — точка склейки $W_2 = S_1^1 \vee S_2^1$ . Разложим $W_2 = A \cup B$ , где $A$ — объединение $S_1^1$ и маленькой дуги вокруг $x$ в $S_2^1$ , а $B$ — объединение $S_2^1$ и маленькой дуги вокруг $x$ в $S_1^1$ . Тогда $A \cap B$ деформационно ретрагируется на $x$ , так что по теореме Зейферта--ван Кампена (в частном случае, когда $\pi_1(A \cap B, x)$ тривиальна, $\pi_1(X,x)$ является свободным произведением $\pi_1(A,x) * \pi_1(B,x)$ ), и поскольку $A$ деформационно ретрагируется на $S_1^1$ , а $B$ — на $S_2^1$ , $\pi_1(W_2, x) \simeq \pi_1(S_1^1, x) * \pi_1(S_2^1, x) \simeq F_1 * F_1 = F_2$ . Адаптируйте этот аргумент для общего $k$ .

Задача 3.9.2

(a)(b)(c)

Примените теорему Зейферта--ван Кампена для вычисления фундаментальной группы следующих пространств:

?

(a)

$S^1 \vee S^2$ ;

(b)

$S^n$ , $n \geq 3$ ;

(c)

$S^1 \vee S^n$ , $n \geq 3$ .

Задача 3.9.3

(a)(b)(c)(d)

Рассмотрим колпак Данса (dunce hat) $D$ , который получается из треугольника отождествлением его трёх рёбер по схеме $aa^{-1}a^{-1}$ , как показано ниже.

Колпак Данса.

?

(a)

Для точки $x$ во внутренности треугольника вычислите $\pi_1(D \setminus \left\{ x\right\} , y)$ , где $y$ также лежит во внутренности треугольника.

(b)

Используя разложение $D$ с $A = D \setminus \left\{ x\right\}$ , $B =$ внутренность треугольника, вычислите $\pi_1(D, y)$ .

(c)

Для стандартной окрестности $N$ точки $x$ на ребре треугольника вычислите $\pi_1(N \setminus \left\{ x\right\} , y)$ . Заметьте, что $N$ — объединение трёх стандартных полудисковых окрестностей трёх отождествляемых точек, где маленькие отрезки рёбер вблизи этих точек также отождествляются.

(d)

Для вершины $x$ треугольника (заметьте, что все три вершины отождествляются в одну точку) и стандартной окрестности $N$ вычислите $\pi_1(N \setminus \left\{ x\right\} , y)$ . Здесь $N$ образована из трёх букетов дисковых окрестностей с определёнными отождествлениями.

Задача 3.9.4

(a)(b)

Проективную плоскость можно рассматривать как фактор диска, где мы отождествляем $x \sim -x$ для $x \in S^1$ . Псевдопроективная плоскость $P_k$ — это фактор диска, где мы отождествляем $x \sim e^{2\pi i /k} x$ для $x \in S^1$ .

?

(a)

Докажите, что $S^1 / x \sim e^{2\pi i/k} x$ гомеоморфно $S^1$ .

(b)

Используйте теорему Зейферта--ван Кампена для вычисления $\pi_1(P_k, x)$ .

Примечание.

?

Для пункта (б): возьмите в качестве $A$ дополнение центра диска в $P_k$ , а в качестве $B$ — внутренность диска.

Задача 3.9.5

Рассмотрим тор $T = S^1 \times S^1 = A \cup B$ , где $A = S^1 \times C \cup \left\{ 1\right\} \times S^1$ и $B = S^1 \times D \cup \left\{ 1\right\} \times S^1$ . Здесь $C = \left\{ x \in S^1 : x_1 \leq \frac{1}{2}\right\}$ , $D = \left\{ x \in S^1 : x_1 \geq -\frac{1}{2}\right\}$ . Используя теорему Зейферта--ван Кампена, вычислите $\pi_1(T, (1,0))$ .

?

Примечание.

?

При вычислении индуцированных отображений посмотрите, куда геометрически отправляются образующие.

Задача 3.9.6

Вычислите $\pi_1^{ab}(M)$ для поверхностей на рисунке ниже и, используя ваши результаты и число граничных компонент, классифицируйте эти поверхности.

Поверхности к упражнению 3.9.6.

?

Задача 3.9.7

Вычислите $\pi_1^{ab}(M)$ для поверхностей на рисунке ниже и, используя ваши результаты и число граничных компонент, классифицируйте эти поверхности.

Поверхности к упражнению 3.9.7.

?

Теорема Зейферта--ван Кампена и её приложение к поверхностям