Гомотопические эквивалентности и $\pi_1$

Пространство-гребёнка $C = \left\{ (x,y) \in \mathbb {R}^{2} : x = 0 \text{ или } x = 1/n,\, n \in \mathbb {Z},\, y \in [0,1]\right\}$ изображено ниже.

Пространство-гребёнка.

Рисунок вводит в заблуждение, однако, поскольку набор вертикальных отрезков, приближающихся к $x=0$ и становящихся всё ближе друг к другу, из-за разрешения выглядит там как чёрная область; если бы мы увеличили масштаб, они выглядели бы больше похожими на отрезки справа от них. Пространство-гребёнка деформационно ретрагируется на любую точку интервала $[0,1]$ на оси $x$, сначала деформируясь на этот интервал посредством $F_t(x,y) = (x, (1-2t)y)$ на первой половине временного интервала, $0 \leq t \leq \frac{1}{2}$, а затем стягиваясь посредством прямолинейной гомотопии на второй половине временного интервала посредством $F_t(x,y) = ((2-2t)x + (2t-1)x_0, 0)$, $\frac{1}{2} \leq t \leq 1$.

Покажите, что пространство-гребёнка $C$ стягиваемо, но не деформационно ретрагируется на точку $(0,1)$.

Используя поворот окружности, воспользуйтесь примером ниже, чтобы показать, что существует гомотопическая эквивалентность пар $(S^1, B) \rightarrow (S^1, (1,0))$, где $B$ — подмножество точек в $S^1$ с неотрицательной $x$-координатой.

Пример: пусть $X = \mathbb {R}$, $Y = \left\{ x \in \mathbb {R} : \left|x\right| \geq \frac{1}{2}\right\}$, $Z = \left\{ x \in \mathbb {R} : \left|x\right| \geq 1\right\}$. Пусть $f : (X,Y) \rightarrow (X,Z)$ задано формулой $f(x) = 2x$, а $g : (X,Z) \rightarrow (X,Y)$ — формулой $g(x) = x$; тогда $F_t(x) = (1+t)x$ — это гомотопия между тождественным отображением на $(X,Y)$ и $gf(x) = 2x$, а также гомотопия между тождественным отображением на $(X,Z)$ и $fg(x) = 2x$, так что $f$ является гомотопической эквивалентностью пар. Теперь образуем факторпространства всех этих пространств, отождествляя точки $Z$ в одну точку. Тогда отображение $h : X \rightarrow S^1$,

индуцирует гомеоморфизмы $(X/Z, Y/Z, Z/Z)$ на $(S^1, A, (-1,0))$, где $A$ — подмножество точек $S^1$ с неположительной первой координатой, а гомотопическая эквивалентность пар выше индуцирует гомотопическую эквивалентность пар $(S^1, A)$ и $(S^1, (-1,0))$.

Покажите, что существует гомотопическая эквивалентность между буквой $\theta$ и символом $8$.

Покажите, что дополнение к $p$ точкам на плоскости гомотопически эквивалентно букету $W_p$ из $p$ копий $S^1$.

Для букв алфавита, набранных ниже, классифицируйте каждую букву как гомотопически эквивалентную либо точке, либо окружности, либо букету двух окружностей:

Покажите, что следующее утверждение можно распространить, чтобы доказать, что если взять букет $W_k$ из $k$ окружностей и добавить отрезок $I$, присоединённый отождествлением $1$ с точкой букета, то пара $(X,0) = (I \cup_1 W_k, 0)$ гомотопически эквивалентна $(W_k, w)$, где $w$ — точка букета.

Утверждение 3.8.5: Пусть $X$ обозначает объединение единичной окружности и отрезка прямой $s$ от $(\frac{1}{2}, 0)$ до $(1,0)$. Тогда отображение $f : (X, (\frac{1}{2},0)) \rightarrow (S^1, (1,0))$, которое стягивает $s$ в $(1,0)$ и является тождественным на $S^1$, является гомотопической эквивалентностью пар. В частности, оно индуцирует изоморфизм $f_* : \pi_1(X, (\frac{1}{2},0)) \rightarrow \pi_1(S^1, (1,0))$.