Приложения к поверхностям

Пусть $p_1 : X \times Y \rightarrow X$, $p_2 : X \times Y \rightarrow Y$ — проекции, и определим $P : \pi_1(X \times Y, (x,y)) \rightarrow \pi_1(X,x) \oplus \pi_1(Y,y)$ формулой $P(\alpha ) = ((p_1)_*(\alpha ), (p_2)_*(\alpha ))$. Определим $Q : \pi_1(X,x) \oplus \pi_1(Y,y) \rightarrow \pi_1(X \times Y, (x,y))$ формулой $Q([f],[g]) = [h]$, где $h(t) = (f(t), g(t))$. Покажите, что $Q$ является гомоморфизмом и обратным к $P$.

Покажите, что если $g_0, g_1 : [a,b] \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ — отображения с $g_0(a) = g_1(a)$, $g_0(b) = g_1(b)$, то $g_0$ гомотопно $g_1$ относительно концов.

Используя обозначения из предыдущего доказательства (вычисление $\pi_1(S^2, 1)$, где $S^2 = A \cup B$, $A = S^2 \setminus \left\{ 1\right\}$, $B = S^2 \setminus \left\{ -1\right\}$, и петля $f$ в точке $1$ разбивается с помощью числа Лебега так, что каждый подынтервал отображается в $A$ или в $B$), покажите, что если $g : [a,b] \rightarrow A$ таково, что $g(a), g(b) \neq -1$, то $g$ гомотопно $g'$ относительно концов, где $g'([a,b]) \subset B$.

Покажите, что если $g \vert [a,b]$ гомотопно $g' \vert [a,b]$ относительно концов (где $g : [0,1] \rightarrow X$ — петля в точке $x$), то $g$ гомотопно (как петля) $g''$, где $g'' \vert [a,b] = g' \vert [a,b]$ и $g'' \vert [0,1] \setminus (a,b) = g \vert [0,1] \setminus (a,b)$.

Докажите теорему 3.4.2.

Теорема 3.4.2: Пусть $A$, $B$ и $A \cap B$ — линейно связные открытые множества в $X = A \cup B$, и $c \in A \cap B$. Тогда, если $\pi_1(A,c)$ и $\pi_1(B,c)$ — тривиальные группы, то $\pi_1(X,c)$ также тривиальная группа.

Заполните детали, чтобы показать, что $\pi_1(P, [1]) \simeq \mathbb {Z}^{2}$, где $P$ обозначает проективную плоскость, используя следующий план.

Используйте описание $\mathbb {Z}^{2}$ как $\left\{ -1,1\right\}$ с обычным умножением в $\mathbb {R}$. Пусть $p : S^2 \rightarrow P$ — фактор-отображение, где $x \sim -x$. Используя компактность $P$, возьмите покрытие $U_1, \ldots , U_n$ пространства $P$ линейно связными открытыми множествами с $p^{-1}(U_i) = U_{i1} \cup U_{i2}$, где $p \vert U_{ij} : U_{ij} \rightarrow U_i$ — гомеоморфизм и $T(U_{i1}) = U_{i2}$ для антиподального отображения $T(x) = -x$. Для петли $f$ в точке $[1]$ используйте рассуждение с числом Лебега (как при вычислении $\pi_1(S^1,1)$), чтобы показать, что $f$ имеет единственное поднятие $\tilde{f} : I \rightarrow S^2$ с $\tilde{f}(0) = 1$. Определите $\bar{h} : \pi_1(P,[1]) \rightarrow \mathbb {Z}^{2} = \left\{ -1,1\right\}$ формулой

Покажите, что $\bar{h}$ корректно определено (используя поднятую гомотопию $\tilde{F}$ и свойство единственности поднятия пути), что $\bar{h}$ является гомоморфизмом (поднимая $f * g$ как $\tilde{f} * (T\tilde{g})$, когда $\tilde{f}(1) = -1$, используя, что $pT = p$), что $\bar{h}$ сюръективно (явно построив путь в $S^2$ из $1$ в $-1$), и что $\bar{h}$ инъективно (используя $\pi_1(S^2, 1) \simeq \left\{ e\right\}$ и рассуждение, аналогичное использованному для $\pi_1(S^1,1)$).

Проверьте, что $(\mathbb {R}, p, S^1)$, $(S^2, p, P)$ являются накрывающими пространствами, где $p : \mathbb {R} \rightarrow S^1$, $p(x) = (\cos 2\pi x, \sin 2\pi x)$, а $p : S^2 \rightarrow P$ — фактор-отображение, отождествляющее антиподальные точки.

Проверьте, что $T/(z,w) \sim h(z,w)$ гомеоморфно $K$, где мы используем наше исходное определение $K$ как фактора $D^1 \times D^1$.

Здесь $T = S^1 \times S^1$, а $h : T \rightarrow T$ — гомеоморфизм, заданный формулой $h(z,w) = (-z, \bar{w})$, где мы рассматриваем $z, w$ как комплексные числа, а $\bar{w}$ — комплексно сопряжённое к $w$.

Дайте формулу для отображения $(D^2, \frac{1}{2}D^2) \rightarrow (D^2, 0)$, посылающего $S^1$ в $S^1$ тождественно, а окружность радиуса $\frac{1}{2}$ в $0$, которое переводит радиальные линии в радиальные линии.

В линейной алгебре показывается, что не существует сюръективного гомоморфизма векторных пространств из $\mathbb {R}^{2}$ на $\mathbb {R}^{4}$ (поскольку размерность образа гомоморфизма всегда не больше размерности области определения). Используйте это, чтобы показать, что не существует гомоморфизма групп из $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$ на $\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z}$.