Векторные поля на поверхностях

Пусть $S_1, S_2$ — эквивалентные дифференциальные структуры на $M$. Покажите, что $f : M \rightarrow \mathbb {R}$ дифференцируемо относительно $S_1$ тогда и только тогда, когда оно дифференцируемо относительно $S_2$. Таким образом, эквивалентные дифференциальные структуры имеют в точности одни и те же дифференцируемые отображения в $\mathbb {R}$.

Нарисуйте картинку, показывающую эффект на векторное поле $v(z) = z^2$ на единичной окружности, когда мы отражаем $v(z)$ относительно прямой, перпендикулярной прямой, идущей из начала координат в $z$.

Векторное поле v(z) = z^2.

Ваша картинка должна показывать образы векторов, изображённых на рисунке выше. Проверьте по своей картинке, что степень нового векторного поля равна $0$.

Ортогональное линейное преобразование из $S^1$ в $S^1$ — это композиция отражения $r(z) = \bar{z}$ с умножением на число из $S^1$ (то есть $g(z) = az$, где $a \in S^1$), либо отображение вида самого $g$. Покажите, что степень $r$ равна $-1$. Покажите, что степень ортогонального линейного преобразования равна $\pm 1$. Найдите обратные отображения к $g$ и $r$ и покажите, что они имеют ту же степень, что и исходное отображение $g$ или $r$.

Докажите, что любое непрерывное отображение $f : S^1 \rightarrow S^1$ гомотопно $z^n$ для некоторого $n$.

Покажите, что если $f : S^2 \rightarrow \mathbb {R}^{3}$ непрерывно, то найдётся такая точка $x \in S^2$, что $f(x) = kx$, где $k \in \mathbb {R}$, а $x$ рассматривается как точка в $\mathbb {R}^{3}$.

Приведите пример векторного поля на торе $T$ без особых точек.

Вспомним дифференциальную структуру на проективной плоскости $P$, индуцированную накрывающим отображением $p : S^2 \rightarrow P$: существует покрытие $\left\{ U_i\right\}$ пространства $P$ такое, что $p^{-1}(U_i) = U_{i1} \cup U_{i2}$, $p \vert U_{ij} : U_{ij} \rightarrow U_i$ — гомеоморфизм с обратным $q_{ij}$, а $T(x) = -x$ — диффеоморфизм $S^2$, переставляющий $U_{i1}$ и $U_{i2}$; выбирая диффеоморфизмы $h_{i1} : U_{i1} \rightarrow \bar{U}_i$ вместе с $h_{i2} = h_{i1} T$, дифференциальная структура на $P$ использует отображения $\bar{h}_i : U_i \rightarrow \bar{U}_i$, $\bar{h}_i = h_{i1} q_{i1} = h_{i2} q_{i2}$.

Докажите Теорему 3.7.5, следуя плану, изложенному ниже.

Теорема 3.7.5: индекс векторного поля на компактной связной поверхности равен эйлеровой характеристике.

План: уже было показано непосредственно, что это верно для $S$ (Теорема 3.7.1, индекс $2$), $T$ (Теорема 3.7.2, индекс $0$) и $P$ (Теорема 3.7.3, индекс $1$), причём в каждом случае значение совпадает с эйлеровой характеристикой поверхности. Лемма 3.7.4: пусть $M, N$ — поверхности, такие что индекс любого векторного поля на каждой из них равен эйлеровой характеристике. Тогда то же самое верно для $M \# N$. (Набросок доказательства Леммы 3.7.4: образуем $M \# N$, удаляя диск из каждой из $M, N$ и склеивая граничные окружности; векторное поле $v$ на $M \# N$ определяет векторные поля $v_M, v_N$ на $M, N$ путём продолжения через удалённые диски с радиальным затуханием, добавляя по одной новой особой точке в каждом случае. Если $d_M, d_N$ обозначают степени $v_M, v_N$ на их граничных окружностях, то $I(v_M) + d_M = \chi (M)$, $I(v_N) + d_N = \chi (N)$, а $d_M + d_N = 2$, поскольку векторные поля на двух дисках связаны на их общей границе так же, как для сферы; следовательно, $I(v) = I(v_M) + I(v_N) = \chi (M) + \chi (N) - 2 = \chi (M \# N)$.) Поскольку всякая компактная связная поверхность гомеоморфна связной сумме копий $S, T, P$, индукция с использованием Леммы 3.7.4 вместе с базовыми случаями для $S, T, P$ доказывает теорему.

Дайте альтернативное доказательство Теоремы 3.7.5 (индекс векторного поля на компактной связной поверхности равен эйлеровой характеристике) для поверхности $T^{(k)}$, представленной как образованная из двух областей на плоскости с $k$ отверстиями в каждой, путём отождествления точек на граничных окружностях. Такое описание возникает, если представить $T^{(k)}$ расположенной в $\mathbb {R}^{3}$ симметрично относительно плоскости $xz$, а затем разрезать её этой плоскостью и развернуть обе половины на плоскость.

Соответствующие векторные поля для T^{(3)}.

Проведите анализ того, как соответствуют друг другу касательные векторы на отождествляемых окружностях, аналогично анализу для $T$ (Теорема 3.7.2, полученному разрезанием тора на два кольца вдоль его экваториальных окружностей), чтобы связать индексы векторных полей на двух половинах. Рисунок выше изображает это разложение в случае $T^{(3)}$.

Пусть $M$ — компактная связная ориентированная поверхность с векторным полем индекса $-2$. Определите $M$.

Покажите, что на $D^2$ существуют векторные поля с наперёд заданным целочисленным индексом, а значит, Теорема 3.7.5 (индекс векторного поля на компактной связной поверхности равен эйлеровой характеристике) неприменима к поверхностям с краем без некоторого дополнительного предположения.

Добавляя диски к поверхности с краем, найдите формулу для индекса векторного поля на поверхности с краем, для которого требуется, чтобы поле было внешним нормальным векторным полем на каждой граничной окружности.