Дополнительные упражнения

Проверьте, образуют ли следующие множества вместе со своими операциями группы:

Пусть $(\mathbb {R}/\sim , \cdot )$ имеет в качестве множества классы эквивалентности вещественных чисел, где $a \sim b$, если существует целое число $n$ такое, что $a = b+n$. Операция на классах эквивалентности задаётся как $[a] \cdot [b] = [a+b]$. Проверьте, что эта операция корректно определена и что $(\mathbb {R}/\sim , \cdot )$ образует группу.

Пусть $\bar{p} : \mathbb {R}/\sim \rightarrow S^1$ индуцировано из $p : \mathbb {R} \rightarrow S^1$, $p([a]) = (\cos 2\pi a, \sin 2\pi a)$. Покажите, что $\bar{p}$ корректно определено и является изоморфизмом групп.

Предположим, что $G$ — абелева группа, а $H$ — неабелева группа (то есть существуют $h_1, h_2 \in H$ такие, что $h_1 \cdot h_2 \neq h_2 \cdot h_1$).

Покажите, что если $H \subset G$ замкнуто относительно умножения ($a, b \in H$ влечёт $a \cdot b \in H$) и взятия обратных ($a \in H$ влечёт $a^{-1} \in H$), то $H$ является подгруппой $G$.

Найдите все подгруппы $(\mathbb {Z}, +)$.

Покажите, что отношение «$f_0$ гомотопно $f_1$ rel $0,1$» является отношением эквивалентности на путях $\left\{ f : (I,0,1) \rightarrow (X,x,y)\right\}$, соединяющих $x$ с $y$.

Обозначим множество классов эквивалентности путей $f : (I,0,1) \rightarrow (X,x,y)$, как выше, через $\pi_1(X,x,y)$. Пусть $X$ линейно связно. Покажите, что существует биекция множеств $g : \pi_1(X,x,y) \rightarrow \pi_1(X,x)$.

Рассмотрим группу вещественных матриц $2 \times 2$ с ненулевым определителем

Отождествляя эти матрицы с подмножеством $\mathbb {R}^{4}$ с помощью четырёх координат, мы можем превратить это множество в топологическое пространство. Это пространство обозначается $GL(2,\mathbb {R})$ и называется полной линейной группой вещественных матриц $2 \times 2$. Покажите, что $GL(2,\mathbb {R})$ образует топологическую группу относительно операции умножения матриц.

Рассмотрим множество $GL(2,\mathbb {C})$ комплексных матриц $2 \times 2$ с ненулевым определителем. Зададим на нём топологию, отождествив его с подмножеством $\mathbb {C}^4$. Покажите, что $GL(2,\mathbb {C})$ является топологической группой.

Рассмотрим подмножество $U(2) \subset GL(2,\mathbb {C})$ унитарных матриц $U$, удовлетворяющих $U^*U = UU^* = I$, где $U^* = \bar{U}^t$ — сопряжённая матрица к $U$. Покажите, что $U(2)$ является подгруппой в $GL(2,\mathbb {C})$ и является топологической группой. Используя комплексный алгоритм Грама--Шмидта, который раскладывает комплексную матрицу $A = QR$ с $Q \in U(2)$ и $R$ — верхнетреугольной матрицей с положительными диагональными элементами, покажите, что $GL(2,\mathbb {C})$ деформационно ретрагируется на $U(2)$.

Рассмотрим подмножество $SU(2) \subset U(2)$ унитарных матриц, удовлетворяющих дополнительному условию $\det U = 1$. Покажите, что $SU(2)$ является топологической группой и что она гомеоморфна $S^3$.

Рассмотрим унитарную группу $U(1)$ — множество комплексных матриц $1 \times 1$, удовлетворяющих условию $U^*U = UU^* = I$. Покажите, что $U(1)$ является топологической группой, гомеоморфной $S^1$ посредством группового изоморфизма.

Пусть $(G, \cdot )$ — топологическая группа с единицей $e$. Определим операцию на петлях в точке $e$ формулой $(f \circ g)(s) = f(s) \cdot g(s)$. Покажите, что она согласована с классами гомотопий в том смысле, что если $f \sim f'$, $g \sim g'$, то $f \circ g \sim f' \circ g'$. Следовательно, мы можем определить операцию на классах гомотопий петель формулой $[f] \bar{\circ } [g] = [f \circ g]$. Покажите, что классы гомотопий петель с этой операцией образуют группу, которую мы будем обозначать $\pi_1'(G,e)$.

Используя тот факт, что $f \sim f * E \sim E * f$, $g \sim g * E \sim E * g$ (где $E(s) = e$ — постоянная петля в единице $e$ топологической группы $G$, а $*$ — обычное умножение петель, используемое при определении $\pi_1$), покажите, что $\pi_1'(G,e)$ (определённая в упражнении 3.11.19 через $(f \circ g)(s) = f(s) \cdot g(s)$) абелева.

Определим отображение из $\pi_1(G,e)$ в $\pi_1'(G,e)$ как тождественное на уровне множеств. Оно обязательно является биекцией, поскольку исходные множества совпадают и различаются лишь групповые операции. Докажите, что это изоморфизм, и, следовательно, фундаментальная группа топологической группы абелева.

Рассмотрим кривую $C$ на рисунке ниже. Покажите, что $T^{(2)} \setminus C$ деформационно ретрагируется на подмножество, гомеоморфное $T_{(2)}$.

T^{(2)} \setminus C.

Найдите две непересекающиеся окружности $C_1, C_2$ в $T^{(2)}$, такие что $T^{(2)} \setminus (C_1 \cup C_2)$ деформационно ретрагируется на подмножество, гомеоморфное $S_{(4)}$. Опишите это подмножество и приведите описание деформационной ретракции.

Покажите, что существуют $g$ непересекающихся окружностей $C_1, \ldots , C_g$ в $T^{(g)}$, таких что $T^{(g)} \setminus (C_1 \cup \cdots \cup C_g)$ деформационно ретрагируется на подмножество, гомеоморфное $S_{(2g)}$. Опишите это подмножество и приведите описание деформационной ретракции.

Покажите, что в бутылке Клейна существует окружность $C$, такая что $K \setminus C$ деформационно ретрагируется на кольцо, содержащееся в бутылке Клейна. Приведите описание подмножества и деформационной ретракции.

Покажите, что существуют $h$ непересекающихся окружностей $C_1, \ldots , C_h$ в $P^{(h)}$, таких что $P^{(h)} \setminus (C_1 \cup \cdots \cup C_h)$ деформационно ретрагируется на подмножество, гомеоморфное $S_{(h)}$. Приведите описание подмножества и деформационной ретракции.

Два пути $f_0, f_1 : I \rightarrow X$ называются свободно гомотопными, если существует непрерывное отображение $F : I \times I \rightarrow X$, $F(s,t) = F_t(s)$, с $F_0 = f_0$, $F_1 = f_1$. Покажите, что любые два пути в линейно связном пространстве $X$ свободно гомотопны.

Две петли $f, g : I \rightarrow X$ называются свободно гомотопными петлями, если существует непрерывное отображение $F : I \times I \rightarrow X$ с $F(s,0) = f(s)$, $F(s,1) = g(s)$ и $F(0,t) = F(1,t) = w(t)$ — путь между $f(0) = f(1) = a$ и $g(0) = g(1) = b$ (мы не требуем $a = b$, и даже если $a=b$, мы не требуем, чтобы гомотопия сохраняла образ точек $0$ и $1$ неподвижным в $a$; однако мы требуем, чтобы образ точек $0$ и $1$ двигался одинаковым образом в ходе гомотопии). Обозначим через $\pi_1^f(X)$ множество классов свободной гомотопии петель в $X$.

Определим отображение $r : \pi_1(X, x_0) \rightarrow \pi_1^f(X)$, игнорируя базовую точку; то есть класс эквивалентности $[g]$ петли $g : (I, \left\{ 0,1\right\} ) \rightarrow (X, x_0)$ в $\pi_1(X, x_0)$ отправляется в класс эквивалентности $[g]$ петли $g : I \rightarrow X$ в $\pi_1^f(X)$. Покажите, что любая петля $g$ свободно гомотопна петле $g'$ с $g'(0) = g'(1) = x_0$, и, следовательно, $r$ сюръективно.

Пусть $f, g : (I, 0, 1) \rightarrow (X, x_0)$ — свободно гомотопные петли. Покажите, что существует петля $\alpha$ в точке $x_0$, такая что $[f] = [\alpha ][g][\alpha ]^{-1} \in \pi_1(X, x_0)$. Покажите, что верно и обратное; то есть $[f] = [\alpha ][g][\alpha ]^{-1}$ в $\pi_1(X, x_0)$ влечёт, что $f, g$ свободно гомотопны.

Покажите, что $r : \pi_1(X,x_0) \rightarrow \pi_1^f(X)$ является биекцией тогда и только тогда, когда $\pi_1(X,x_0)$ абелева.

Пусть $X, Y$ — линейно связные пространства с отмеченными точками $x_0 \in X$, $y_0 \in Y$. Рассмотрим множество классов гомотопности непрерывных отображений из $(X,x_0)$ в $(Y,y_0)$, обозначаемое $[(X,x_0),(Y,y_0)]$, где гомотопии обязаны сохранять отмеченную точку.

Используя отождествление $S^1 = I/0 \sim 1$, покажите, что $\pi_1(Y, y_0)$ находится в биективном соответствии с $[(S^1, 1), (Y, y_0)]$.

Если игнорировать отмеченную точку в множестве классов гомотопности $[(X,x_0),(Y,y_0)]$ из упражнения 3.11.35, мы получаем соответствующее множество $[X,Y]$ классов свободной гомотопности отображений. Покажите, что $\pi_1^f(Y, y_0)$ находится в биективном соответствии с $[S^1, Y]$.

Покажите, что если $X$ и $Y$ гомотопически эквивалентны, то $\pi_1^f(X)$ и $\pi_1^f(Y)$ находятся в биективном соответствии.

Покажите, что отображение $j : \pi_1(S^1, 1) \rightarrow \pi_1^f(\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\} )$ является биекцией, где для $f : (I, \left\{ 0,1\right\} ) \rightarrow (S^1, 1)$ отображение $j$ переводит $[f]$ в класс эквивалентности $f$, рассматриваемого как отображение $f : I \rightarrow S^1 \subset \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$.

Покажите, что тело ручек $H = h^0 \cup h^1$ гомотопически эквивалентно окружности.

Покажите, что $H = h^0 \cup h_1^1 \cup \cdots \cup h_k^1$ (где мы предполагаем, что все $h_i^1$ приклеены непересекающимся образом к $\partial h^0$) гомотопически эквивалентно букету из $k$ окружностей с одной общей точкой, как показано ниже.

Гомотопическая эквивалентность.

Назовём непрерывное отображение $f : S^1 \rightarrow S^1$ регулярным, если

Назовём отображение $f : S^1 \rightarrow S^1$ квазирегулярным, если выполнено условие (а) упражнения 3.11.41 (т.е. $f^{-1}\left\{ 1\right\}$ состоит из конечного числа точек, но условие (б) о локальном поведении при пересечении может не выполняться). Обобщите упражнение 3.11.41 на квазирегулярные отображения.

Покажите, что если $w = M\, dx + N\, dy$ замкнута в $R$, $f : S \rightarrow R$, то $f^*w$ замкнута в $S$.

Напоминание: дифференциальная $1$-форма $w = M(x,y)\, dx + N(x,y)\, dy$, заданная в области $R$ плоскости, называется замкнутой, если $M_y = N_x$, и точной, если существует функция $F : R \rightarrow \mathbb {R}$ с $F_x = M$, $F_y = N$. Если $f : S \rightarrow R$ дифференцируемо, задано формулами $x = f^1(u,v)$, $y = f^2(u,v)$, а $w = M\, dx + N\, dy$ — $1$-форма в $R$, то обратный образ (pullback) $f^*w$ — это $1$-форма в $S$, определённая как $f^*w = P\, du + Q\, dv$, где $P = (M \circ f) f^1_u + (N \circ f) f^2_u$, $Q = (M \circ f) f^1_v + (N \circ f) f^2_v$.

Пусть $\gamma : [a,b] \rightarrow R$ — петля в $R$. Покажите, что если $\alpha : [c,d] \rightarrow [a,b]$ — аффинный линейный гомеоморфизм, а $\beta = \gamma \alpha$, то $\int_\gamma w = \int_\beta w$, если $\alpha$ сохраняет порядок, и $\int_\gamma w = -\int_\beta w$, если $\alpha$ меняет порядок на противоположный. Используйте это, чтобы показать, что $\int_{\gamma * \delta } w = \int_\gamma w + \int_\delta w$, где $\gamma * \delta$ обозначает обычное сложение петель. Также покажите, что $\int_{\bar\gamma } w = -\int_\gamma w$.

Пусть $f_0, f_1 : rS^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ — дифференцируемые отображения, которые дифференцируемо гомотопны. Пусть $\alpha_i = f_i(rS^1)$ — петли, получающиеся композицией $f_i$ со стандартной параметризацией $\gamma_r(s) = re^{2\pi i s}$ окружности $rS^1$. Покажите, что если $w$ — замкнутая форма, определённая на открытом множестве, содержащем образ гомотопии, то $\int_{\alpha_0} w = \int_{\alpha_1} w$.

Пусть $\tau_1, \tau_2 : [0,1] \rightarrow R$ — дифференцируемо гомотопные петли в $R$, а $w$ — замкнутая $1$-форма в $R$. Покажите, что $\int_{\tau_1} w = \int_{\tau_2} w$.

Покажите, что

— замкнутая $1$-форма в $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$.

Ограничимся случаем $R = \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ и

Для дифференцируемого отображения $f : rS^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ определим $d(f) = \int_{\gamma_r} f^*(w) = \int_{f \circ \gamma_r} w$, где $\gamma_r(t) = re^{2\pi i t}$. Вычислите $d(z^n)$ для $\gamma_r(t) = re^{2\pi i t} = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$.

Пусть $\tilde{\alpha }(t)$ — поднятие для $\alpha (t) = f(\gamma_r(t))$; то есть

Покажите, что $d(f) = \tilde{\alpha }(1) - \tilde{\alpha }(0)$, где $d(f)$ определено, как в упражнении 3.11.48. Таким образом, этот интеграл даёт то же самое определение степени, которое мы получили ранее.

Пусть $\eta = M\, dx + N\, dy$ — замкнутая дифференциальная $1$-форма в $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$. Пусть $\gamma (s) = (\cos 2\pi s, \sin 2\pi s)$,

Покажите, что если $(1/2\pi ) \int_\gamma \eta = a$, то $\eta = a\omega + \nu$, где $\nu$ — точная $1$-форма в $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$. Таким образом, с точностью до точных форм, все замкнутые формы в $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ являются кратными $\omega$.

Покажите, что замкнутые формы в $R \subset \mathbb {R}^{2}$ образуют векторное пространство $C(R)$ относительно сложения и умножения на скаляр. Покажите, что точные формы образуют подпространство $E(R)$.

Покажите, что $I : C(\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\} ) \rightarrow \mathbb {R}$, $I(\eta ) = \int_\gamma \eta$, где $\gamma (t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$, является сюръективным гомоморфизмом векторных пространств, ядро которого — $E(\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\} )$. Следовательно, $I$ индуцирует изоморфизм векторных пространств из факторпространства $C(\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\} )/E(\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\} )$ в $\mathbb {R}$.

Пусть $h$ — функтор из категории топологических пространств и непрерывных отображений в категорию абелевых групп и гомоморфизмов групп; то есть каждому топологическому пространству $X$ соответствует абелева группа $h(X)$, а каждому непрерывному отображению $f : X \rightarrow Y$ — гомоморфизм $h(f) : h(X) \rightarrow h(Y)$, такие что $h(1_X) = 1_{h(X)}$ и $h(gf) = h(g)h(f)$. Пусть также $h$ обладает следующими свойствами:

1. $h(S^n) \simeq \mathbb {Z}$ посредством изоморфизма $k$.

2. $h(p) \simeq \left\{ e\right\}$, где $p$ — точка.

3. Если $f, g : X \rightarrow Y$ — гомотопные отображения, то $h(f) = h(g)$. (Определим степень отображения $f : S^n \rightarrow S^n$ с помощью композиции $\mathbb {Z} \xrightarrow {k^{-1}} h(S^n) \xrightarrow {h(f)} h(S^n) \xrightarrow {k} \mathbb {Z}$, а именно $\deg f = kh(f)k^{-1}(1)$. Таким образом, свойство (3) означает, что гомотопные отображения имеют одинаковую степень.)

4. Если $f(-x) = -f(x)$, то $\deg f$ нечётна. Здесь $-x = -(x_1, \ldots , x_{n+1}) = (-x_1, \ldots , -x_{n+1})$ — антиподальная точка к $x$. Покажите, что если существуют отображения $f : X \rightarrow Y$, $g : Y \rightarrow X$ такие, что $gf$ гомотопно $1_X$, а $fg$ гомотопно $1_Y$, то $h(f) : h(X) \rightarrow h(Y)$ и $h(g) : h(Y) \rightarrow h(X)$ являются изоморфизмами (и $h(f)$ и $h(g)$ взаимно обратны). Эти условия можно было бы сформулировать в терминах гомотопической эквивалентности $X$ и $Y$.