Фундаментальная группа

Заполните детали, чтобы показать, что индуцированное умножение $\bar{*}$ на классах эквивалентности петель, определённое как $[f]\bar{*}[g] = [f * g]$, корректно определено.

Напомним постановку: для топологического пространства $X$ с отмеченной точкой $x$ петля в $x$ — это непрерывная функция $f : (I; \left\{ 0,1\right\} ) \rightarrow (X, x)$, т.е. $f : [0,1] \rightarrow X$ с $f(0) = f(1) = x$. Две петли $f_0, f_1$ гомотопны, что записывается как $f_0 \sim f_1$, если существует непрерывная функция $F : (I \times I, \left\{ 0,1\right\} \times I) \rightarrow (X,x)$ с $F(s,0) = f_0(s)$, $F(s,1) = f_1(s)$, $F(0,t) = F(1,t) = x$. Гомотопия является отношением эквивалентности на петлях в $x$, и $[f]$ обозначает класс эквивалентности $f$. Умножение $*$ на самих петлях определяется как

Чтобы показать, что $\bar{*}$ корректно определено, покажите, что $f_0 \sim f_1$, $g_0 \sim g_1$ влечёт $f_0 * g_0 \sim f_1 * g_1$: если $F$ — гомотопия между $f_0$ и $f_1$, а $G$ — гомотопия между $g_0$ и $g_1$, образуйте $F * G$, скомпоновав гомотопии по аналогии с тем, как $f * g$ было образовано из $f$ и $g$, и покажите, что это даёт гомотопию между $f_0 * g_0$ и $f_1 * g_1$.

Выпишите формулу гомотопии между $e_x * f$ и $f$, где $e_x : I \rightarrow X$, $e_x(s) = x$, — постоянная петля в точке $x$, а $*$ обозначает умножение петель, определённое в переформулировке упражнения 3.2.1 выше.

Выпишите гомотопию между $\bar{f} * f$ и $e_x$, где $\bar{f}(s) = f(1-s)$ обозначает обращение петли $f$, $*$ — умножение петель из переформулировки упражнения 3.2.1, а $e_x$ — постоянная петля в точке $x$.