Приложения фундаментальной группы

Докажите теорему 3.5.3 (теорема об отсутствии ретракции).

Пусть $f : D^2 \rightarrow D^2$ — непрерывное отображение без неподвижной точки, так что $x - f(x)$ никогда не равно нулю. Рассмотрим луч, идущий из $f(x)$ в направлении $x$; на этом луче есть единственная точка, отличная от $f(x)$, лежащая на единичной окружности; обозначим эту точку $g(x)$. Поскольку $g(x)$ лежит на прямой, проходящей через $x$ и $f(x)$, точка $g(x)$ имеет вид $x + t(x - f(x))$ для некоторого $t \geq 0$.

Построение g : D^2 \rightarrow S^1.

Покажите, что соответствие от $x$ к $t$ в этом построении непрерывно.

Покажите, что непрерывное отображение $f : D^1 \rightarrow D^1$ обязано иметь неподвижную точку.

Предположим, что $f : S^1 \rightarrow S^1$ раскладывается как $f(z) = f_1(z) \cdot f_2(z)$, где центральная точка обозначает комплексное умножение и $f_i : S^1 \rightarrow S^1$. Покажите, что $\deg f = \deg f_1 + \deg f_2$.

Докажите предложение 3.5.10.

Напомним, что для отображения $f : rS^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ (где $rS^1$ обозначает окружность радиуса $r$ с центром в начале координат) соответствующее отображение $\bar{f} : S^1 \rightarrow S^1$ определяется как $\bar{f} = u f m_r$, где $m_r(z) = rz$, $u(z) = z/\left|z\right|$, а $\deg f$ определяется как $\deg \bar{f}$.

Предложение 3.5.10: Если $f, g : rS^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ непрерывны, то

1. если $f$ гомотопно $g$, то $\deg f = \deg g$;

2. если $f$ продолжается до непрерывного отображения $F : rD^2 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$, то $\deg f = 0$;

3. если $A(r_1, r_2) = \left\{ z : r_1 \leq \left|z\right| \leq r_2\right\}$, а $F : A(r_1, r_2) \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ непрерывно, то $\deg F \vert r_2 S^1 = \deg F \vert r_1 S^1$;

4. при ограничении на любую окружность $rS^1$, $r > 0$, отображение $f(z) = z^n$ имеет степень $n$ как отображение $rS^1$ в $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$.

Предположим, что $P(z) = (z-r_1) \cdots (z-r_n)$, а $R_1 < R_2$ — радиусы окружностей, на которых $P(z) \neq 0$.

Предположим, что $P(z) = P_1(z) P_2(z)$ — многочлен без корней на окружности радиуса $R$. Покажите, что

Предположим, что $P(z) = (z-r_1) \cdots (z-r_n)$, где $\left|r_i\right| < R$ при $i \leq k$, $\left|r_i\right| > R$ при $i > k$. Покажите, что $\deg P \vert RS^1 = k$.

Покажите, что $\deg P \vert R_2 S^1 - \deg P \vert R_1 S^1$ подсчитывает число корней (с учётом кратности) многочлена $P$ в кольце $A(R_1, R_2)$. Заметим, что мы предполагаем отсутствие корней на границе кольца, так что это выражение определено.

Докажите теорему 3.5.14 (вариант теоремы Борсука--Улама: непрерывное отображение $f : S^2 \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ обязано переводить некоторую пару антиподальных точек в одну и ту же точку), используя

для получения отображения в $S^1$, к которому можно применить теорему 3.5.13 (не существует непрерывного отображения $f : S^2 \rightarrow S^1$, которое переводит антиподальные точки в антиподальные), если $f$ не переводит ни одну пару антиподальных точек в одну и ту же точку.

Заполните детали доказательства «теоремы о бутерброде с ветчиной».

Теорема 3.5.16 (теорема о бутерброде с ветчиной): Пусть $R_1, R_2, R_3$ — три связные открытые области в $\mathbb {R}^{3}$, каждая из которых ограничена и имеет конечный объём. Тогда существует плоскость, которая делит каждую из них пополам по объёму.

Набросок доказательства: выберем большой шар с центром в начале координат, охватывающий все три области. Для каждой точки $x$ на граничной сфере рассмотрим семейство плоскостей, перпендикулярных прямой, соединяющей $x$ с началом координат; поскольку области связны и открыты, среди этих плоскостей найдётся единственная, которая делит область $R_i$ пополам по объёму. Обозначим через $d_i(x)$ направленное расстояние от этой плоскости до начала координат, положительное, если плоскость находится по ту же сторону от начала координат, что и $x$, и отрицательное в противном случае; функции $d_i$ непрерывны и удовлетворяют равенству $d_i(-x) = -d_i(x)$. Пусть $f : S^2 \rightarrow \mathbb {R}^{2}$ задаётся как $f(x) = (d_1(x) - d_2(x), d_1(x) - d_3(x))$. По теореме 3.5.14 существует точка $x$, для которой $f(-x) = f(x)$, что влечёт $d_1(x) = d_2(x) = d_3(x)$, давая плоскость, которая делит все три области пополам.

Приведите пример, показывающий, что аналог «теоремы о бутерброде с ветчиной» неверен для четырёх областей; то есть мы не всегда можем разрезать бутерброд с ветчиной и сыром пополам по объёму без специального расположения ингредиентов.