Банк задач по математике

Задача 3.1.1

Найдите обратный элемент для каждого элемента $S_3$ .

?

Задача 3.1.2

Проверьте, что $m(\mathbb {R}^{2})$ не абелева.

?

Примечание.

?

Вычислите $T_a R_\theta (0)$ и $R_\theta T_a(0)$ .

Задача 3.1.3

Покажите, что обратные элементы единственны.

?

Задача 3.1.4

Определите, являются ли следующие отображения гомоморфизмами:

?

(a)

$f : \mathbb {Z}^{p} \rightarrow \mathbb {Z}$ , $f([n]) = n$ ;

(b)

$f : \mathbb {Z}^{4} \rightarrow \mathbb {Z}^{2}$ , $f([n]) = [n]$ ;

(c)

$f : \mathbb {Z}^{2} \rightarrow \mathbb {Z}^{4}$ , $f([n]) = [2n]$ ;

(d)

$f : \mathbb {Z}^{2} \rightarrow S_3$ , $f(0) = [123]$ , $f(1) = [213]$ ;

(e)

$f : (\mathbb {C}, +) \rightarrow T(\mathbb {R}^{2})$ , $f(a) = T_a$ ;

(f)

$f : S^1 \rightarrow R(\mathbb {R}^{2})$ , $f((\cos \theta , \sin \theta )) = R_\theta$ ;

(g)

$p : (\mathbb {R}, +) \rightarrow (S^1, \cdot )$ , $p(t) = (\cos 2\pi t, \sin 2\pi t)$ ;

(h)

$f_a : (\mathbb {R}, +) \rightarrow (\mathbb {R}, +)$ , $f_a(b) = ab$ .

Задача 3.1.5

Покажите, что отображение из $(\mathbb {Z}^{2}, +)$ в $(\left\{ -1, 1\right\} , \cdot )$ , определённое отправлением $0$ в $1$ и $1$ в $-1$ , действительно является изоморфизмом.

?

Задача 3.1.6

Определите, изоморфны ли следующие группы. Либо постройте изоморфизм и докажите, что это изоморфизм, либо покажите, почему изоморфизма не существует.

?

(a)

$S_2$ = перестановки множества $\left\{ 1, 2\right\}$ и $\mathbb {Z}^{2}$ ,

(b)

$(\mathbb {Z}, +)$ и $(\mathbb {Q}, +)$ ,

(c)

$(\mathbb {C}, +)$ и $T(\mathbb {R}^{2})$ ,

(d)

$(S^1, \cdot )$ и $R(\mathbb {R}^{2})$ ,

(e)

$(\mathbb {R}, +)$ и $(S^1, \cdot )$ .

Задача 3.1.7

Проверьте, что $\ker f$ и $\operatorname {im} f$ являются подгруппами.

?

Примечание.

?

Для гомоморфизма $f : G_1 \rightarrow G_2$ ядром $f$ называется подгруппа $\ker f = \left\{ g \in G_1 : f(g) = e_2\right\}$ , а образом $f$ — $\operatorname {im} f = \left\{ h \in G_2 : h = f(g) \text{ для некоторого } g \in G_1\right\}$ .

Задача 3.1.8

Покажите, что если $f : G_1 \rightarrow G_2$ — гомоморфизм, то $\ker f$ является нормальной подгруппой.

?

Примечание.

?

Подгруппа $H \subset G$ называется нормальной, если для любых $g \in G$ , $h \in H$ выполняется $ghg^{-1} \in H$ .

Задача 3.1.9

Покажите, что если $S_3$ обозначает перестановки множества $\left\{ 1, 2, 3\right\}$ , то подгруппа, состоящая из двух перестановок $[123]$ , $[213]$ , не является нормальной.

?

Задача 3.1.10

Пусть $F$ — функтор из категории топологических пространств и непрерывных отображений в категорию конечно порождённых абелевых групп и гомоморфизмов, такой что для компактных связных поверхностей (без края) $A, B$ выполняется $F(A \# B) = F(A) \oplus F(B)$ . Для конечно порождённых абелевых групп верно, что $G_1 \oplus G_2$ изоморфна $G_1$ тогда и только тогда, когда $G_2 = \left\{ e\right\}$ . Покажите, что отсюда следует, что $F(S)$ — тривиальная группа, где $S$ обозначает сферу. Покажите, что если $F(T)$ не равна $\left\{ e\right\}$ , где $T$ обозначает тор, то $F$ различает $T^{(g)}$ , $g \geq 0$ ; то есть $F(T^{(p)})$ не изоморфна $F(T^{(q)})$ при $p \neq q$ , $p, q \geq 0$ .

?

Основная идея алгебраической топологии