Векторные поля на плоскости

Приведите подробности доказательства утверждения, что степень $vm_{x,r}$ не зависит от выбора радиуса $r$, пока мы находимся внутри диска, где $v$ обращается в нуль только в точке $x$.

Постановка: векторное поле на $X \subset \mathbb {R}^{2}$ — это непрерывная функция $v : X \rightarrow \mathbb {R}^{2}$. Для окружности радиуса $r$ с центром в точке $x$ положим $m_{x,r}(z) = x + rz$, что даёт отображение $vm_{x,r} : S^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2}$; если $v$ не обращается в нуль на этой окружности, то $\deg (vm_{x,r})$ определяется как обычно (через нормированное отображение $z \mapsto vm_{x,r}(z)/\left|vm_{x,r}(z)\right|$ в $S^1$). Точка $x$, в которой $v$ обращается в нуль, называется особой точкой; она изолирована, если существует проколотая окрестность точки $x$, на которой $v$ отлично от нуля. Для изолированной особой точки $x$ индекс $i(x)$ — это степень $vm_{x,r}$ при достаточно малом $r$, таком что единственный нуль внутри диска радиуса $r$ с центром в $x$ — это сама точка $x$.

Приведите явное построение гомотопии между $vm_{2,1}$ и $z$, описанной при вычислении индекса векторного поля $v(z) = z(z-2)$ в его особой точке $2$.

Вспомните аналогичное вычисление для особой точки $0$: $z - 2$ продолжается до отображения единичного диска в $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$, так что $H(z,t) = tz - 2$ — это гомотопия в $\mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$ между $z-2$ и постоянным отображением $-2$; тогда $V(z,t) = zH(z,t)$ после нормировки даёт гомотопию между $v(z)$ и $-z$ как отображениями $S^1 \rightarrow S^1$, а $-z$ гомотопно $z$ посредством $k(z,t) = e^{\pi i t} z$. Для особой точки $2$ ограничимся окружностью радиуса $1$ с центром в $2$ и рассмотрим $vm_{2,1}(z) = (2+z)z$; гомотопируем слагаемое $(2+z)$ к $2$, чтобы получить гомотопию этого отображения к $2z$, которая после нормировки даёт гомотопию $vm_{2,1}(z)$ к $z$.

Каждая часть рисунка ниже изображает векторное поле на окружности вокруг изолированной особой точки. Определите индекс каждой из особых точек.

Векторные поля к упражнению 3.6.3.

Приведите пример векторного поля на плоскости, имеющего две особые точки индекса $1$ и одну особую точку индекса $-1$.

Покажите, что $f : S^1 \rightarrow S^1$, $f(z) = c$ (постоянная), гомотопно $g(z) = 1$.

Покажите, что если $f : S^1 \rightarrow \mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$ удовлетворяет $f(z) = f_1(z) f_2(z)$ (комплексное умножение $f_1$ и $f_2$) и $f_2$ гомотопно $f_3$, то $f$ гомотопно $g(z) = f_1(z) f_3(z)$.

Покажите, что если $f(z) : S^1 \rightarrow \mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$ продолжается на единичный диск до $F : D^2 \rightarrow \mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$, то $f(z)$ гомотопно $g(z) = 1$.

Приведите явную гомотопию между $f(z) = 2z - 5$ и $g(z) = 1$ как отображениями из $S^1$ в $\mathbb {C} \setminus \left\{ 0\right\}$.

Пусть $v(z) = v_1(z) v_2(z)$ (комплексное умножение) — векторное поле с изолированной особой точкой в $x$. Пусть $v_1(x) = 0$, $v_2(x) \neq 0$, и единственная особая точка $v$ внутри $B(x,r)$ — это $x$. Покажите, что индекс $v$ в точке $x$, вычисленный на окружности радиуса $r$ с центром в $x$, совпадает с индексом $v_1$, вычисленным на той же окружности.

Пусть $v(z) = (z-x_1) \cdots (z-x_n)$ задан как разложенный на множители многочлен. Покажите, что $v$ имеет изолированные особые точки $x_1, \ldots , x_n$ и что каждая из них имеет индекс $1$, так что индекс векторного поля равен $n$.

Проверьте, что $r : S^1 \times I \rightarrow D^2$, $r(z,t) = tz$, является фактор-отображением и что индуцированное отображение $\bar{K}' : D^2 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ даёт продолжение $f$, в контексте доказательства следующей леммы.

Лемма 3.6.1: Пусть $f : S^1 \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ — непрерывное отображение, композиция которого с $u(z) = z/\left|z\right|$ имеет степень $0$. Тогда $f$ продолжается до непрерывного отображения из $D^2$ в $\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$.

В доказательстве гомотопия $K : I \times I \rightarrow (\mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\} )$ между $fp$ (где $p(t) = e^{2\pi i t}$) и постоянным отображением индуцирует, поскольку $S^1$ является фактором $I$ по отображению $p$, гомотопию $\bar{K} : S^1 \times I \rightarrow \mathbb {R}^{2} \setminus \left\{ 0\right\}$ с $\bar{K}(z,1) = f(z)$.

Проверьте утверждение, сделанное в доказательстве следующего предложения, для базового случая $k=1$: что степень $vm_{x,r}$ совпадает со степенью $vm_{z_1, r_1}$, используя гомотопию между отображением $m_{x,r}$ и отображением $m_{z_1, r_1}$ на малую окружность вокруг особой точки $z_1$.

Предложение 3.6.2: Пусть $v$ — векторное поле, определённое на диске $B(x,r)$ с центром в $x$, имеющее изолированные особые точки $z_1, \ldots , z_k$. Степень отображения $vm_{x,r}$ равна сумме индексов особых точек; то есть индекс векторного поля можно вычислить, вычислив степень с помощью векторного поля на граничной окружности.