Вариационное исчисление

Найти достаточные условия сильного минимума интеграла

при условии, что конечные точки минимальной кривой лежат соответственно на прямых $x = x_{1}$ и $x = x_{2}$.

Примеры:

1. $I = \int_{-1}^{+1} (y^{3} - 3x^{4}y) \, dx$;

2. $I = \int_{0}^{1} y(y+x) \, dx$;

3. $I = \int_{-a}^{+a} \left(x^{2}y + \frac{1}{3}y^{3} - a^{2}y\right) \, dx; \ a > 0$;

4. $I = \int_{0}^{x_{1}} (6ax - y^{2})y \, dx; \ a > 0, \ x_{1} > 0$.

Найти минимум интеграла

Найти экстремум интеграла

Найти экстремум интеграла

Найти экстремаль интеграла

проходящую через заданные точки $A$ и $B$, лежащие в верхней полуплоскости $y > 0$.

Найти экстремали интеграла

Найти в квадратурах экстремали интеграла

Найти экстремали интеграла

(в полярных координатах $r$, $\theta$), выражающего момент $n$-й степени дуги $M_{1}M_{2}$ относительно начала координат.

Материальная точка движется в плоскости так, что ее скорость $v$ обратно пропорциональна расстоянию до начала координат, причем $\int v \, ds$, взятый вдоль траектории между двумя любыми точками последней, является экстремумом. Найти направление силы, действующей на точку, и орбиту точки.

Плоская кривая является орбитой для свободного движения материальной точки под действием центральной силы и в то же время брахистохроной (см. задачу 5989) для другого движения уже при другой центральной силе. Показать, что если $v$ и $v'$ суть скорости точки в этих двух движениях в некоторой точке траектории, то для всех точек траектории произведение $vv'$ остается постоянным.

Среди всех кривых, соединяющих начало координат с прямой $x = a$, определить ту, которая, заключая вместе с осью $Ox$ и указанной прямой площадь заданной величины $S$, имеет наименьшую длину.

На сторонах $OA$ и $OB$ угла с вершиной $O$ даны точки $A$ и $B$; требуется соединить их кратчайшей линией $ACB$, при условии, что площадь $OACBO$ имеет заданную величину $S$.

Найти поверхность вращения около оси $OX$, имеющую заданную площадь и заключающую наибольший объем при условии, что поверхность пересекает ось вращения ровно два раза.

Найти все интегралы

для которых экстремалями служат прямые линии.

Найти все интегралы

для которых экстремалями являются параболы $y = ax + bx^{2}$.

Среди кривых, соединяющих точки $A(1,3)$ и $B(2,5)$, найти ту, которая дает минимум интеграла

Найти среди линий, соединяющих точки $A(0,1)$ и $B(1,4)$, ту, которая дает минимум интеграла

Среди линий, соединяющих точки $A(1,0)$ и $B(2,1)$, найти ту, которая дает минимум интеграла

Найти характер минимума.

Найти минимум интеграла

и определить его характер.

Показать, что если подынтегральная функция интеграла

не содержит явно $y$, то каждая экстремаль всегда может быть окружена полем, и для сильного минимума достаточно выполнения условия $\frac{\partial^{2} F(x,y')}{\partial y'^{2}} > 0$ в каждой точке поля для любого направления.

Найти минимум интеграла

Показать, что прямая $y = 0$ дает только слабый минимум интеграла

хотя условие Лежандра $\frac{\partial^{2} F}{\partial y'^{2}} > 0$ в точках экстремали $y = 0$ выполняется для всех $y'$.

Найти критические сопряженные точки на экстремалях интеграла

при помощи дифференциального уравнения Якоби.

Найти минимум интеграла

Найти минимум интеграла

Найти экстремали, проверить условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса и найти характер минимума.

Найти минимум интеграла

Найти экстремали, проверить условия Лежандра, Якоби, Вейерштрасса и найти характер минимума.

Показать, что экстремали интеграла

получаются одна из другой преобразованием подобия и переноса параллельно оси $OX$. При этом касательные в сопряженных критических точках пересекаются на оси $OX$.

Среди кривых, соединяющих точки $M_{1}(-a,b)$ и $M_{2}(a,b)$, $a > 0$, $b > 0$, найти ту, которая при вращении около $OX$ дает наименьшую поверхность. При этом:

Среди кривых, лежащих в плоскости $XOY$ (ось $OY$ направлена вертикально вниз), найти ту, скользя по которой, тяжелая точка скорее всего скатится из точки $O(0,0)$ в точку $M(a,b)$. При этом начальная скорость точки равна нулю.

Найти в вертикальной плоскости $XOY$ кривую, двигаясь по которой, тяжелая материальная точка придет в кратчайшее время из точки $O(0,0)$ в точку $M(a,b)$; при этом дано, что начальная скорость в точке $O$ равна $\sqrt{2gh}$.

Найти форму, какую надо придать телу вращения, чтобы оно испытывало наименьшее сопротивление при равномерном движении вдоль оси вращения. При этом предполагается, что при скорости $v$ элемент $d\sigma$ испытывает в направлении оси $OX$ сопротивление $kv^{2}\cos^{3}\varphi \, d\sigma$. Здесь $\varphi$ — угол нормали к $d\sigma$ с $OX$. Требуется найти экстремали, рассмотреть условие Якоби, исследовать характер минимума.

Среди линий, соединяющих точки $A(-1,-1)$ и $B(1,1)$, найти ту, которая дает минимум интеграла

Исследовать полное приращение интеграла $\Delta I$.

Найти минимум интеграла

Показать, что для интеграла

$OX$ является такой экстремалью, для которой вторая вариация положительна, но интеграл все же не имеет сильного минимума.

Показать, что не существует непрерывной функции $y = \varphi (x)$, которая давала бы минимум интеграла

и удовлетворяла бы условиям: $\varphi (-1) = -1$; $\varphi (1) = 1$. (Пример Вейерштрасса.)

Найти минимум интеграла

Найти минимум интеграла

Найти максимум интеграла

Найти геодезические линии на поверхности вращения $r^{2} = 2f(z)$ ($r$, $\varphi$, $z$ — цилиндрические координаты). Выяснить, для каких дуг $M_{1}M_{2}$ интеграл $\int_{M_{1}}^{M_{2}} ds$ действительно будет минимумом.

Найти геодезические линии круглого цилиндра $r = R$.

Найти геодезические линии конуса $r = z \operatorname {tg} \alpha$.

Исследовать геодезические линии на шаре радиуса $R$, найти экстремали, исследовать условие Якоби и выяснить характер минимума интеграла $\int ds$.

Найти геодезические линии на параболоиде вращения $2z = r^{2}$. При каком условии геодезическая линия между двумя точками на одном меридиане будет кратчайшим расстоянием?

Для сплюснутого эллипсоида вращения

экватор ($y=0$, $x^{2}+z^{2}=a^{2}$) есть геодезическая линия. Показать, что сопряженная с точкой $A$ критическая точка $A'$ этой линии отстоит от $A$ на расстоянии $\pi b$.

Имеем две окружности радиуса $r$ с центрами в точках $M_{1}(-a,b)$ и $M_{2}(a,b)$. Кривая лежит в верхней полуплоскости, кончаясь на данных окружностях, а при вращении вокруг $OX$ дает поверхность наименьшей площади. В каких точках и под каким углом она пересекает окружности?

Написать условие трансверсальности для интеграла

Для каких интегралов вида $\int F(x,y,y') \, dx$ трансверсальность приводится к ортогональности?

Найти все интегралы $\int f(x,y,y') \, dx$, у которых трансверсали пересекают экстремали под углом $45°$.

Среди линий, соединяющих точку $O(0,0)$ с кривой $y^{3} = 2-x$, найти ту, которая дает минимум интеграла

В вертикальной плоскости $XOY$ с направленной вниз осью $OY$ найти кривую, двигаясь вдоль которой, тяжелая материальная точка придет в кратчайшее время из точки $O$ на заданную прямую $y = (x-c)\operatorname {tg}\beta$; $0 < \beta < \pi$. При этом начальная скорость равна нулю.

Найти функцию поля $p(x,y)$ и само поле экстремалей, проходящих через начало координат, интеграла

Дано, что семейство экстремалей проходит через точку $(x_{0},y_{0})$. Обозначая через $(x_{1},y_{1})$ точку пересечения этих экстремалей с некоторой трансверсалью, показать, что взятый по экстремали интеграл

имеет постоянную величину.

Семейство экстремалей, зависящих от одного параметра, пересечено двумя трансверсалями. Доказать, что интеграл $\int f(x,y,y') \, dx$, взятый по любой экстремали между точками пересечения с трансверсалями, имеет постоянное значение.

Среди линий, соединяющих прямую $x=0$ с точкой $A(x_{1},y_{1})$, где $x_{1} > 0$, $y_{1} > 0$, найти ту, которая дает минимум интегралу

Составить также уравнение Гамильтона--Якоби и найти эквидистантные кривые для экстремалей, трансверсально пересекающих прямую $x=0$.

Найти уравнение Гамильтона--Якоби и трансверсали для поля экстремалей $y=ax$ интеграла $\int y'^{2} \, dx$.

Найти трансверсали для поля экстремалей $y=ax$ интеграла

Найти трансверсали для поля экстремалей $y=x+a$ интеграла

Найти трансверсали для поля экстремалей $y = x - \frac{x^{2}}{a}$ интеграла

Найти экстремали интеграла

путем решения уравнения Гамильтона--Якоби и обратно — найти решение уравнения Гамильтона--Якоби, исходя из первого интеграла уравнения Эйлера.

Найти экстремали интеграла

при помощи решения уравнения Гамильтона--Якоби.

Зная, что путями лучей света являются такие кривые, по которым свет распространяется в наикратчайшее время, и зная, что скорость света обратно пропорциональна коэффициенту преломления среды $n$, показать, что брахистохрона (задача 5989) есть путь света в среде, в которой коэффициент преломления $n$ выражается формулой

В связи с этим найти пути лучей света в такой среде и уравнение волновых поверхностей. Для брахистохрон найти синхроны, т.е. кривые, куда точки, двигающиеся из точки $(0,0)$ по разным брахистохронам, приходят одновременно.

Найти траекторию материальной точки, движущейся под влиянием силы тяжести, исходя из принципа наименьшего действия, согласно которому для траектории точки первая вариация интеграла «действие» обращается в нуль:

Здесь $U$ — потенциал; в данном случае $U = -gy$, если ось $OY$ направлена вверх.

Составить уравнение Гамильтона--Якоби и, решив его, найти экстремали, в частности те, которые проходят через начало координат. Исследовать характер минимума интеграла.

Найти траекторию для движения точки в плоскости под действием силы отталкивания от оси $OX$, пропорциональной расстоянию точки до этой прямой и направленной параллельно оси $OY$ при условии, что интеграл энергии имеет вид $\frac{v^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{2} = 0$, исходя из интеграла «действие»

Материальная точка описывает окружность $r = 2R\cos \theta$ (в полярных координатах $r$ и $\theta$) радиуса $R$ под действием центральной силы $\frac{k}{r^{5}}$, обратно пропорциональной пятой степени расстояния от центра силы, лежащего в начале координат. Показать, что интеграл «действие», взятый по любой дуге этой окружности: $-\frac{\pi }{2} < \theta_{1} \leq \theta \leq \theta_{2} < \frac{\pi }{2}$, является сильным минимумом.

Изучить движение материальной точки под действием центральной силы, пропорциональной расстоянию от центра $O$ силы, исходя из принципа наименьшего действия и применяя метод Якоби--Гамильтона.

Показать, что в сопряженных критических точках какой-либо траектории точки, рассматриваемой как экстремаль интеграла «действия», касательные взаимно перпендикулярны.

Решая уравнение Гамильтона--Якоби, найти геодезические линии на поверхности Лиувилля, для которой элемент дуги имеет вид

Доказать, что для поверхностей, у которых элемент дуги определяется равенством

уравнение Якоби--Гамильтона для задачи о геодезической линии имеет вид

Найти кратчайшее расстояние между заданной точкой и параболой $y^{2} = 2px$.

Найти минимум интеграла

если значения на концах интервала не даны.

Найти кратчайшее расстояние между двумя окружностями $C_{1}$ и $C_{2}$, лежащими в одной плоскости.

Для задачи о нахождении минимума интеграла

дано уравнение Гамильтона--Якоби: $w_{x} = H(x,y,w_{y})$. Найти функцию $f(x,y,y')$.

Пример. $\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^{2} + \left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^{2} = 1$.

Уравнение Гамильтона--Якоби для задачи о минимуме интеграла $\int f(x,y,y') \, dx$ имеет вид

Найти функцию $f(x,y,y')$.

Для задачи о минимуме интеграла

найти уравнение Эйлера и граничные условия, считая заданными только координаты конечных точек.

Показать, что уравнение Эйлера для условий задачи 6033 имеет первый интеграл:

если $f$ не содержит $y$. В случае же, если $f$ не содержит $x$, то первый интеграл можно написать в таком виде:

Если, наконец, $f$ не содержит ни $x$, ни $y$, то уравнение Эйлера имеет второй интеграл:

Среди линий, проходящих через точки $A(0,0)$ и $B(1,0)$, найти ту, которая обращает в минимум интеграл $\int_{0}^{1} y''^{2} \, dx$ в двух случаях:

Найти экстремали интеграла $\int (y'')^{n} \, dx$.

Ищется минимум интеграла

причем для переменного верхнего предела дано условие: $\varphi (x,y,y')=0$. Найти условие на этом конце, обобщающее условие трансверсальности.

Та же задача, но на верхнем пределе даны значение $y'(x_{2})$ и кривая $h(x,y)=0$, на которой должна лежать точка $(x_{2},y_{2})$.

Найти такую плоскую кривую, чтобы площадь ограниченная дугой $M_{1}M_{2}$, нормалями $M_{1}C_{1}$ и $M_{2}C_{2}$ в точках $M_{1}$ и $M_{2}$ и дугой эволюты $C_{1}C_{2}$, обратилась в минимум. При этом даны величины $x_{1}$, $y_{1}$, $y'_{1}$ и $x_{2}$, $y_{2}$, $y'_{2}$, т.е. положения и направления концов $M_{1}M_{2}$.

Пример. $x_{1}=y_{1}=0$, $y'_{1}=1$; $x_{2}=1$, $y_{2}=0$; $y'_{2}=-1$.

Прежняя задача, только не даны направления в точках $M_{1}$ и $M_{2}$. При этом $M_{1}(0,0)$ и $M_{2}(2\pi ,0)$.

Найти необходимое и достаточное условие того, чтобы функция $f(x,y,y',\ldots ,y^{(n)})$ при любом выборе функции $y$ была полной производной по $x$ от некоторой функции

Является ли функция

полной производной от функции $u(x,y,y',y'')$, и если это так, то найти функцию $u$.

Вертикальный стержень зажат на своих концах $O$ и $A$. Нижний конец $O$ неподвижен, верхний может перемещаться по горизонтали. На верхний конец $A$ действует сила $P$, направленная вниз. Определить критическую нагрузку $P_{0}$, при которой прямолинейная форма перестает быть устойчивой. Модуль упругости $E$. Момент инерции поперечного сечения относительно оси, проходящей через центр тяжести сечения перпендикулярно к плоскости изгиба, равен $I$.

Тот же вопрос, но при условии, что нижний конец зажат, верхний свободен, т.е. на нижнем конце $\theta = 0$, на верхнем не задано.

Та же задача при условии опертых концов.

Та же задача, но при условии, что оба конца зажаты, т.е. на них $v=0$, $v'=0$.

Та же задача, но нижний конец зажат, а верхний оперт, т.е. на верхнем конце $v=0$, а $v'$ не задано.

Горизонтальный стержень $AB$ длиной $l$ одним концом свободно оперт, а другим лежит на упругой опоре и сжимается двумя горизонтальными силами $P$. Определить критическую нагрузку $P_{0}$, считая, что при вертикальном смещении $v$ упругая опора дает сопротивление, равное $-kv$.

Если интеграл $I = \int f(x,y,y',y'') \, dx$ преобразовать по Вейерштрассу в $I = \int F(x,x',x'',y,y',y'') \, dt$, то функция $F$ будет тождественно удовлетворять равенствам:

Показать, что уравнения Эйлера для интеграла

допускают следующие первые интегралы:

Показать, что уравнения Эйлера для интеграла

могут быть представлены так:

Найти условие трансверсальности для интеграла

если конечная точка лежит на поверхности $S(x,y,z)=0$.

Та же задача, но конечная точка лежит на кривой

Показать, что для интегралов $\int f(x,y,z) \, ds$ и только для них условия трансверсальности на поверхности или кривой совпадают с условиями ортогональности.

Ищется минимум интеграла

где $\mu (x,y,z)$ — положительная функция, непрерывная вместе со своими производными. Показать, что:

Гибкая нить находится под действием силы $F$, имеющей потенциал $U$, так что

При этом сила $F$ отнесена к единице длины нити. Уравнения равновесия нити имеют вид:

Здесь $T$ — натяжение нити, $ds^{2} = dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}$. Из этих уравнений следует, что $T = U+h$, где $h$ — постоянная.

Доказать, что условия равновесия нити являются необходимыми условиями минимума интеграла $\int \varphi (x,y,z) \, ds$, где $\varphi = U+h$.

Найти дифференциальные уравнения геодезических линий в $n$-мерном пространстве Римана, т.е. экстремали интеграла, определяющего длину кривой между двумя точками:

При этом квадратичная форма $dS^{2} = \sum g_{ik} \, dx_{i} \, dx_{k}$ симметрична (т.е. $g_{ik}=g_{ki}$) и положительна.

Найти кривую между точками $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ и $M_{2}(x_{2},y_{2},z_{2})$ так, чтобы ее линейный момент относительно оси $OX$, т.е. интеграл

был минимумом.

Найти минимум интеграла $\int \sqrt{h-x^{2}-y^{2}-z^{2}} \, ds$, дающего «действие» в случае, если материальная точка притягивается к неподвижному центру силою, пропорциональною расстоянию.

Найти кратчайшее расстояние между кругом

и гиперболой

Найти разрывные решения с угловой точкой для задачи о минимуме интеграла

Среди линий, идущих из точки $A(0,0)$ в точку $B(2,0)$, найти линию с угловой точкой, вдоль которой интеграл

принимает минимальное значение.

Найти разрывные решения с угловой точкой задачи о минимуме интеграла

Для задачи об экстремуме интеграла

найти непрерывные решения, а также решения с угловой точкой.

Среди всех цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными $OZ$, найти ту, на которой плоскость $z=0$, конус $z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\operatorname {tg}a$ и две образующие, проходящие через точку $A(x_{1},y_{1})$ и $B(x_{2},y_{2})$, отсекают наименьшую площадь.

В плоскости $XOY$ найти кривую, соединяющую две точки $M_{1}(r_{1},\theta_{1})$ и $M_{2}(r_{2},\theta_{2})$ и имеющую наименьший момент инерции относительно точки $O$. Найти непрерывные и разрывные решения.

Среди линий, лежащих в верхней полуплоскости и соединяющих точки $A$ и $B$, найти ту, которая при вращении вокруг $OX$ дает наименьшую поверхность.

Найти разрывные решения (см. задачу 5988).

Найти кривую, лежащую в области $y \geq k > 0$, соединяющую точки $M_{1}(-a,b)$ и $M_{2}(a,b)$ и образующую при вращении вокруг $OX$ наименьшую поверхность.