Разрывные решения. Односторонняя вариация

Найти разрывные решения с угловой точкой для задачи о минимуме интеграла

Среди линий, идущих из точки $A(0,0)$ в точку $B(2,0)$, найти линию с угловой точкой, вдоль которой интеграл

принимает минимальное значение.

Найти разрывные решения с угловой точкой задачи о минимуме интеграла

Для задачи об экстремуме интеграла

найти непрерывные решения, а также решения с угловой точкой.

Среди всех цилиндрических поверхностей с образующими, параллельными $OZ$, найти ту, на которой плоскость $z=0$, конус $z = \sqrt{x^{2}+y^{2}}\operatorname {tg}a$ и две образующие, проходящие через точку $A(x_{1},y_{1})$ и $B(x_{2},y_{2})$, отсекают наименьшую площадь.

В плоскости $XOY$ найти кривую, соединяющую две точки $M_{1}(r_{1},\theta_{1})$ и $M_{2}(r_{2},\theta_{2})$ и имеющую наименьший момент инерции относительно точки $O$. Найти непрерывные и разрывные решения.

Среди линий, лежащих в верхней полуплоскости и соединяющих точки $A$ и $B$, найти ту, которая при вращении вокруг $OX$ дает наименьшую поверхность.

Найти разрывные решения (см. задачу 5988).

Найти кривую, лежащую в области $y \geq k > 0$, соединяющую точки $M_{1}(-a,b)$ и $M_{2}(a,b)$ и образующую при вращении вокруг $OX$ наименьшую поверхность.

Среди линий, соединяющих данные точки $A(x_{0},y_{0})$ и $B(x_{1},y_{1})$, найти разрывное решение задачи о минимуме интеграла

Найти кратчайший путь из точки $A(-2,3)$ в точку $B(2,3)$, расположенный в области $y \leq x^{2}$.

Среди кривых, соединяющих точки $A(0,0)$ и $B(b,0)$ и лежащих в области $y \geq 0$, найти ту, которая дает максимум интеграла

при условии $b \geq 2a > 0$.

Ищется минимум интеграла

в области $y \geq f(x)$ при условии, что на одном пределе заданы значения функции и ее производной $(a, y_{a}, y'_{a})$, а на другом пределе дано только само число $b$. Показать, что если экстремаль встречает граничную кривую $y=f(x)$, то ее дальнейшее продолжение составляет с граничной кривой тот же угол, т.е. угол падения равен углу отражения.

Внутри выпуклой области $B$ заданы две точки $M_{1}$ и $M_{2}$. Найти кратчайший путь из $M_{1}$ в $M_{2}$ с заходом на границу $B$.

Найти минимум интеграла

при условиях $y \geq 0$; $1-y'^{2} \geq 0$.

Между кривыми, соединяющими точки $A(a,y_{a})$ и $B(b,y_{b})$, найти ту, которая дает экстремальное значение интегралу

при условии $y \geq 0$, $1-y^{2}y'^{2} \geq 0$.

На поверхности $z = \varphi (x,y)$ даны точки $M_{1}$ и $M_{2}$.

Провести на поверхности кратчайшую линию из $M_{1}$ в $M_{2}$ при условии, чтобы наклон кривой, т.е. $\frac{dz}{ds}$, не превосходил данного числа $k$ (горная железная дорога).

Соединить точки $A$ и $B$ кратчайшим путем, выходящим из $A$ в данном направлении и имеющим кривизну, не превосходящую данной величины $\frac{1}{R}$. Точка $B$ лежит вне кругов радиуса $R$, касающихся данного направления в точке $A$.

Свет идет по такому пути, что первая вариация интеграла

вдоль пути равна нулю. При этом $n(x,y)$ — показатель преломления среды.

Если луч проходит из одной среды в другую, то $n(x,y)$ может получать внезапное изменение. Вывести условие преломления луча света при переходе луча из среды с показателем преломления $n_{1}$ в среду с показателем преломления $n_{2}$ (см. задачу 6055).